Fiche de révision : Fonctions et suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Fonctions du second degré
2. Vocabulaire et types de suites
3. Inéquations sur les suites
4. Fonctions affines

📖 1. Fonctions du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Sommet : Le point $S(\alpha;\beta)$ de la parabole écrite sous forme canonique.

★ À maîtriser

📐 Formule - La forme canonique d'une fonction du second degré est $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.

📌 Si $a>0$, la parabole est tournée vers le haut et son sommet est un minimum, tandis que si $a<0$, elle est tournée vers le bas et son sommet est un maximum.

📌 Dans l'expression $(x-\alpha)^2$, le signe situé devant le nombre permet d'identifier α : $(x-3)^2$ donne $\alpha=3$, tandis que $(x+3)^2=(x-(-3))^2$ donne $\alpha=-3$.

Compléments

• Pour $f(x)=-2(x-1)^2+5$, le sommet est $S(1;5)$ et la parabole admet un maximum.

💡 Astuce mémo

a > 0 donne une parabole vers le haut et un minimum ; a < 0 donne une parabole vers le bas et un maximum

📖 2. Vocabulaire et types de suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Terme de rang n : Le terme de la suite correspondant au rang n, et $u_{n+1}$ est le terme de rang suivant.

★ À maîtriser

📌 Le rang n d'une suite est toujours un nombre entier, comme 0, 1, 2 ou 3.

📌 Une suite explicite donne directement $u_n$ en fonction de n et permet de calculer n'importe quel terme sans connaître les précédents, tandis qu'une suite définie par récurrence nécessite le terme précédent pour calculer le suivant.

Compléments

• Pour la suite explicite $u_n=3n-7$, on obtient $u_{10}=23$.

• Pour $u_0=1$ et $u_{n+1}=2u_n+5$, on calcule successivement $u_1=7$ puis $u_2=19$.

💡 Astuce mémo

La formule explicite saute directement au terme, tandis que la récurrence passe par le terme précédent

📖 3. Inéquations sur les suites

★ À maîtriser

• Pour déterminer à partir de quel rang une suite dépasse une valeur, on pose l'inéquation, on remplace $u_n$ par sa formule explicite, on résout l'inéquation pour isoler n, puis on choisit le premier entier supérieur au résultat.

📌 Si la résolution donne $n>25{,}2$, le premier rang entier satisfaisant l'inéquation est $n=26$.

Compléments

• Pour $u_n=4n-10$ et la condition $u_n>100$, on obtient $n>27{,}5$, donc la suite dépasse 100 à partir du rang $n=28$.

💡 Astuce mémo

Poser, remplacer, résoudre, arrondir au premier entier supérieur

📖 4. Fonctions affines

★ À maîtriser

📐 Formule - La forme générale d'une fonction affine est $f(x)=ax+b$ et sa représentation graphique est une droite.

📐 Formule - Pour deux points $(x_1,y_1)$ et $(x_2,y_2)$, le coefficient directeur vaut $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

• Pour déterminer une fonction affine à partir de deux points, on calcule a avec les deux points, on remplace ensuite x et y par les coordonnées d'un point dans $f(x)=ax+b$, puis on isole b.

Compléments

• La fonction affine vérifiant $f(2)=5$ et $f(4)=13$ est $f(x)=4x-3$.

💡 Astuce mémo

Deux points permettent de calculer a, puis un point permet de trouver b

📊 Tableaux de synthèse

Signe de a et nature du sommet