Fiche de révision : Fonctions exponentielles et croissance

📋 Plan du Cours

1. Définition de la fonction exponentielle
2. Sens de variation
3. Propriétés algébriques
4. Racine n-ième
5. Taux d’évolution moyen

📖 1. Définition de la fonction exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle de base a : Fonction de la forme $f(x)=a^x$ définie pour tout $x$ réel positif, avec $a$ réel strictement positif.
• Suite géométrique (a^n) : Suite $(a^n)$, associée à la fonction exponentielle comme prolongement de la valeur $a^n$ pour $n$ entier naturel.
• Fonction k×a^x : Fonction $f(x)=k\times a^x$ qui prolonge une suite géométrique $u(n)=k\times a^n$ à tout réel.

📝 Points essentiels

• La fonction exponentielle de base $a$ est définie par $f(x)=a^x$ pour tout réel $x$ positif avec $a>0$.
• Pour $n$ entier naturel, $a^n$ correspond à la suite géométrique $a^n$, prolongée en $a^x$ pour des réels.
• Si $f(x)=k\times a^x$, alors elle prolonge la suite $u(n)=k\times a^n$ où $u(0)=k$.
• Exemple : pour $f(x)=3{,}5^x$, on a $f(0)=1$ et $f(1{,}3)=3{,}5^{1{,}3}\approx 5{,}097$.

💡 Astuce mémo

Suite géométrique au bout des entiers → exponentielle pour tous les réels.

📖 2. Sens de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Décroissance si 0<a<1 : Pour $f(x)=a^x$ avec $0<a<1$, la valeur diminue quand $x$ augmente.
• Croissance si a>1 : Pour $f(x)=a^x$ avec $a>1$, la valeur augmente quand $x$ augmente.
• Même sens de variation pour k×a^x : Multiplier $a^x$ par un réel positif $k$ ne change pas le sens de variation de la fonction.

📝 Points essentiels

• Si $0<a<1$, alors la fonction $f(x)=a^x$ sur $[0;\infty[$ est décroissante.
• Si $a>1$, alors la fonction $f(x)=a^x$ sur $[0;\infty[$ est croissante.
• Si $k>0$, la fonction $x\mapsto k\times a^x$ a le même sens de variation que $x\mapsto a^x$.
• Exemple : $g(x)=3\times 0{,}5^x$ est décroissante car $3>0$ et $0{,}5\in(0,1)$.
• Exemple : $h(x)=0{,}1\times 5^x$ est croissante car $0{,}1>0$ et $5>1$.

💡 Astuce mémo

Entre 0 et 1 ça baisse, au-dessus de 1 ça monte, et un $k>0$ ne change rien.

📖 3. Propriétés algébriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit d’exposants négatifs : Règle reliant $a^{-x}$ à l’inverse de $a^x$ pour $a>0$ et réel $x$.
• Produit de puissances de même base : Règle qui transforme $a^x\times a^y$ en une puissance unique de base $a$ et d’exposant $x+y$.
• Puissance d’une puissance : Règle qui transforme $(a^x)^y$ en $a^{xy}$ pour $a>0$ et réels $x,y$.

📝 Points essentiels

• Pour $a>0$ et tout réel $x$, on a $a^0=1$ et $a^{-x}=\dfrac{1}{a^x}$.
• Pour $a>0$ et réels $x,y$, on a $a^x\times a^y=a^{x+y}$ et $\dfrac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$.
• Pour $a>0$ et réels $x,y$, on a $(a^x)^y=a^{xy}$ et $a^x\times b^x=(ab)^x$.
• Exemple : $2^{1{,}5}\times 2^{3{,}5}=2^{1{,}5+3{,}5}=2^5=32$.
• Exemple : $4^{-2{,}3}=\dfrac{1}{4^{2{,}3}}$ et $\left(3^{2{,}5}\right)^{2}=3^{5}=243$.

💡 Astuce mémo

Même base : on additionne en multipliant, on soustrait en divisant, et on multiplie les exposants en puissance d’une puissance.

📖 4. Racine n-ième

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine n-ième de c : Pour $c>0$ et $n\ge 1$, la racine n-ième est le nombre positif $x$ tel que $x^n=c$.
• Écriture c^(1/n) : Notation $c^{1/n}$ qui représente la racine n-ième de $c$.
• Notation n√c : Écriture $\sqrt[n]{c}$, équivalente à $c^{1/n}$ pour désigner la racine n-ième.

📝 Points essentiels

• L’équation $x^n=c$ admet une unique solution réelle positive $x=c^{1/n}$.
• On note la racine n-ième aussi $\sqrt[n]{c}$.
• Exemple : la solution positive de $x^7=15$ vaut $15^{1/7}$, aussi notée $7\sqrt{15}$.

💡 Astuce mémo

Racine n-ième = ce qui donne $c$ quand on élève à la puissance $n$.

📖 5. Taux d’évolution moyen

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’évolution global : Taux correspondant à l’effet cumulé d’évolutions successives, traduisant la variation totale sur l’ensemble des périodes.
• Évolution entre valeur initiale et finale : Relation reliant le taux global au coefficient multiplicatif total : $CM_{globale}=1+t_{global}$.
• Taux d’évolution moyen par période : Taux $t_{moyen}$ qui, appliqué de manière identique à chaque période, reproduit le même coefficient multiplicatif global.

📝 Points essentiels

• Si une quantité subit des évolutions successives, alors le coefficient multiplicatif global vérifie $CM_{globale}=CM_1\times CM_2\times\dots\times CM_n$.
• Le taux d’évolution global est lié à $CM_{globale}$ par $t_{global}=CM_{globale}-1$.
• Si le taux global sur $n$ périodes est $t_{global}$, alors $t_{moyen}=(1+t_{global})^{1/n}-1$.
• Exemple : si la population augmente de $20\%$ en $10$ ans, alors $t_{moyen}=(1+0{,}2)^{1/10}-1=1{,}2^{1/10}-1\approx 0{,}0184$, soit $1{,}84\%$ par an.

💡 Astuce mémo

Moyen par période = racine $n$ du facteur $(1+t_{global})$ puis on retire 1.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Mélanger le sens de variation : si $a=0{,}5$ la fonction $a^x$ décroît, mais si $a=5$ elle croît.
2. Oublier l’exigence $k>0$ pour dire que $k\times a^x$ a le même sens que $a^x.
3. Se tromper sur les règles : $a^x\times a^y$ donne $a^{x+y}$, tandis que $a^x/a^y$ donne $a^{x-y}$.
4. Confondre puissance de puissance : $(a^x)^y$ vaut $a^{xy}$, pas $a^{x+y}$.
5. Inverser la formule du taux moyen : $t_{moyen}=(1+t_{global})^{1/n}-1$, pas $(1+t_{global})-1$.
6. Ne pas distinguer $t_{global}$ (taux total) et $CM_{globale}=1+t_{global}$ (facteur multiplicatif total).

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir une fonction exponentielle $f(x)=a^x$ avec $a>0$ sur les réels positifs.
2. Être capable de relier $a^n$ à la suite géométrique et de comprendre le prolongement vers $a^x$.
3. Savoir interpréter une fonction $k\times a^x$ comme prolongement de la suite $u(n)=k\times a^n$.
4. Déterminer le sens de variation de $a^x$ selon $0<a<1$ (décroissante) ou $a>1$ (croissante).
5. Déterminer le sens de variation de $k\times a^x$ quand $k>0$ à partir de celui de $a^x$.
6. Appliquer $a^0=1$ et $a^{-x}=1/a^x$ pour simplifier des expressions exponentielles.
7. Appliquer $a^x\times a^y=a^{x+y}$ et $a^x/a^y=a^{x-y}$ pour fusionner des puissances.
8. Appliquer $(a^x)^y=a^{xy}$ et $(ab)^x=a^x\times b^x$ pour transformer des produits et puissances.
9. Savoir résoudre $x^n=c$ et donner la solution positive $x=c^{1/n}$ ou $\sqrt[n]{c}$.
10. Calculer un taux d’évolution moyen à partir du taux global via $t_{moyen}=(1+t_{global})^{1/n}-1$.
11. Connaître et utiliser l’exemple : $+20\%$ en $10$ ans donne $t_{moyen}\approx 1{,}84\%$ par an.