QCM : Fonctions polynômes du second degré — 22 questions

Question 1

1. Quelles sont les coordonnées du sommet de la parabole représentant un trinôme écrit sous forme canonique ?

S(a;b)

S(\beta;\alpha)

S(b;c)

S(\alpha;\beta)

Explication

La forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ montre que le sommet a pour coordonnées $S(\alpha;\beta)$ . La droite $x=\alpha$ est l’axe de symétrie, mais elle ne donne pas à elle seule les deux coordonnées du sommet.

Answer

$$S(\alpha;\beta)$$

Question 2

2. Quelle expression définit une fonction polynôme du second degré sur $\mathbb{R}$ ?

f(x)=\frac{a}{x}+b

avec

a,b\in\mathbb{R}

et

a\neq0

f(x)=ax^2+bx+c

avec

a\neq0

et

a,b,c\in\mathbb{R}

f(x)=ax+b

avec

a,b\in\mathbb{R}

et

a\neq0

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

avec

a,b,c,d\in\mathbb{R}

Explication

Une fonction du second degré comporte un terme en $x^2$ dont le coefficient $a$ est non nul, ainsi que des coefficients réels $a$ , $b$ et $c$ . La forme $ax+b$ décrit une fonction affine de degré 1, et les autres expressions ne sont pas des trinômes du second degré.

Answer

$$f(x)=ax^2+bx+c$$ avec $$a\neq0$$ et $$a,b,c\in\mathbb{R}$$

Question 3

3. Quel élément détermine le nombre de solutions réelles de l’équation $ax^2+bx+c=0$ , avec $a\ne0$ ?

Le signe du discriminant

\Delta

La position de l’axe de symétrie

Le signe du coefficient

a

La valeur du coefficient

c

Explication

Le signe de $\Delta=b^2-4ac$ permet de déterminer le nombre de solutions réelles. Le coefficient $a$ indique l’orientation de la parabole, mais ne détermine pas directement ce nombre.

Answer

Le signe du discriminant $$\Delta$$

Question 4

4. Que signifie qu’un nombre réel $\alpha$ est une racine d’une fonction $f$ ?

Il vérifie

f(\alpha)=1

et donne une ordonnée maximale

Il correspond à la valeur de

x

lorsque

f(x)

atteint son sommet

Il vérifie

f(\alpha)=0

et résout l’équation

f(x)=0

Il annule le coefficient du terme en

x^2

dans l’expression de

f

Explication

Une racine est un réel dont l’image par la fonction est nulle, ce qui équivaut à résoudre l’équation $f(x)=0$ . Une racine n’est pas définie par une image égale à 1, par l’annulation d’un coefficient ou par la position du sommet.

Answer

Il vérifie $$f(\alpha)=0$$ et résout l’équation $$f(x)=0$$

Question 5

5. Quel est le signe d’un trinôme $ax^2+bx+c$ lorsque $\Delta<0$ ?

Il est nul en une racine double puis garde le signe opposé à

a

Il garde le signe opposé à

a

sur l’intervalle central

Il garde partout le signe de

a

et ne s’annule pas

Il change de signe entre deux racines réelles distinctes

Explication

Avec $\Delta<0$ , le trinôme ne possède aucune racine réelle, donc il ne s’annule pas et conserve partout le signe de $a$ . Le changement de signe entre deux racines caractérise le cas $\Delta>0$ .

Answer

Il garde partout le signe de $$a$$ et ne s’annule pas

Question 6

6. Quel type d’extrémum possède $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ lorsque $a<0$ ?

Un minimum égal à

\alpha

atteint en

x=\beta

Un maximum égal à

\beta

atteint en

x=\alpha

Un minimum égal à

\beta

atteint en

x=\alpha

Un maximum égal à

\alpha

atteint en

x=\beta

Explication

Lorsque $a<0$ , la parabole est tournée vers le bas et la fonction atteint un maximum égal à $\beta$ pour $x=\alpha$ . Le minimum correspond au cas $a>0$ , et les rôles de $\alpha$ et $\beta$ ne doivent pas être interchangés.

Answer

Un maximum égal à $$\beta$$ atteint en $$x=\alpha$$

Question 7

7. Quelle écriture caractérise la forme canonique d’une fonction polynôme du second degré ?

f(x)=ax^2+bx+c

f(x)=a(x-\alpha)+\beta^2

f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta

f(x)=a(x+\beta)^2+\alpha

Explication

La forme canonique s’écrit $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ et met en évidence les coordonnées du sommet. L’expression $ax^2+bx+c$ est la forme développée, qui ne fait pas apparaître directement $\alpha$ et $\beta$ .

Answer

$$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$$

Question 8

8. Sur la courbe représentative d’une fonction, que représentent graphiquement ses racines ?

Les ordonnées des points où la courbe coupe l’axe des abscisses

Les abscisses des points où la courbe atteint son sommet

Les coordonnées des points où la courbe coupe l’axe des ordonnées

Les abscisses des points où la courbe coupe l’axe des abscisses

Explication

Une racine correspond à une valeur de $x$ pour laquelle l’image vaut zéro ; elle est donc l’abscisse d’un point situé sur l’axe des abscisses. Les ordonnées décrivent les images et ne donnent pas les racines dans cette situation.

Answer

Les abscisses des points où la courbe coupe l’axe des abscisses

Question 9

9. Un trinôme vérifie $\Delta=0$ et a pour coefficient directeur $a$ . Quelle forme factorisée lui correspond, avec $x_0$ comme racine double ?

f(x)=a(x+x_0)^2

f(x)=a(x-x_0)(x+x_0)

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

avec

x_1\ne x_2

f(x)=a(x-x_0)^2

Explication

Lorsque $\Delta=0$ , les deux racines se confondent en $x_0=-\frac{b}{2a}$ , ce qui donne un carré de facteur. La forme comportant deux racines distinctes est réservée au cas $\Delta>0$ .

Answer

$$f(x)=a(x-x_0)^2$$

Question 10

10. Comment varie le signe d’un trinôme lorsque $\Delta=0$ et que sa racine double est $x_0$ ?

Il possède deux changements de signe autour de deux racines distinctes

Il garde le signe opposé à

a

avant

x_0

puis celui de

a

après

x_0

Il change de signe en traversant

x_0

et reste nul ailleurs

Il garde le signe de

a

de part et d’autre de

x_0

et vaut zéro en

x_0

Explication

Une racine double ne provoque pas de changement de signe : le trinôme conserve le signe de $a$ des deux côtés et prend la valeur zéro en $x_0$ . Deux changements de signe nécessiteraient deux racines réelles distinctes, donc $\Delta>0$ .

Answer

Il garde le signe de $$a$$ de part et d’autre de $$x_0$$ et vaut zéro en $$x_0$$

Question 11

11. Une fonction du second degré possède deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$ . Quelle factorisation lui correspond ?

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

f(x)=a(x^2-x_1x_2)

f(x)=a(x+x_1)(x+x_2)

f(x)=a(x-x_1-x_2)

Explication

Chaque racine annule un facteur associé : $x_1$ annule $x-x_1$ et $x_2$ annule $x-x_2$ , d’où la forme factorisée avec le coefficient directeur $a$ . Les autres formes ne produisent pas en général les deux zéros demandés.

Answer

$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$

Question 12

12. Pour $\Delta>0$ , quelles formules donnent les deux solutions distinctes de $ax^2+bx+c=0$ ?

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{a}

et

x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{a}

x_1=\frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}

et

x_2=\frac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}

x_1=\frac{-b-\Delta}{2a}

et

x_2=\frac{-b+\Delta}{2a}

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}

et

x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

Explication

Pour $\Delta>0$ , les racines sont obtenues en ajoutant et en retranchant $\sqrt{\Delta}$ au numérateur, avec un dénominateur égal à $2a$ . Remplacer $\sqrt{\Delta}$ par $\Delta$ ou oublier le facteur $2$ conduit à des formules incorrectes.

Answer

$$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$ et $$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$

Question 13

13. Pour $f(x)=2x^2-8x+3$ , quelles sont les valeurs de $\alpha$ et de $\beta$ dans la forme canonique ?

\alpha=-2

et

\beta=5

\alpha=4

et

\beta=3

\alpha=-4

et

\beta=-5

\alpha=2

et

\beta=-5

Explication

On calcule $\alpha=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\times2}=2$ , puis $\beta=f(2)=2\times2^2-8\times2+3=-5$ . Ici, $\alpha$ représente l’abscisse du sommet et $\beta$ son ordonnée, et non l’inverse.

Answer

$$\alpha=2$$ et $$\beta=-5$$

Question 14

14. Quelle expression définit le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ ?

\Delta=2b-4ac

\Delta=b^2-4ac

\Delta=4ac-b^2

\Delta=b^2+4ac

Explication

Le discriminant est défini par $\Delta=b^2-4ac$ . L’expression $b^2+4ac$ correspond à une modification incorrecte du signe dans la formule.

Answer

$$\Delta=b^2-4ac$$

Question 15

15. Un trinôme $f(x)=2x^2-10x+12$ possède deux racines distinctes. Quelle est la valeur de leur somme ?

-6

6

5

-5

Explication

La relation de Viète donne $x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-10}{2}=5$ . Le nombre $6$ correspond ici au produit $\frac{c}{a}=\frac{12}{2}$ , pas à la somme des racines.

Answer

L’équation n’admet aucune solution réelle

Answer

$$a=3$$, $$b=-5$$ et $$c=6$$

Answer

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$ et $$x_1x_2=\frac{c}{a}$$

Answer

Il n’admet pas de forme factorisée dans $$\mathbb{R}$$

Answer

Sur l’intervalle $$]x_1,x_2[$$

Answer

$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$ avec $$x_1\ne x_2$$

Answer

Une solution réelle double $$x_0=-\frac{b}{2a}$$

Question 16

16. Quelle conclusion peut-on tirer lorsque le discriminant d’une équation du second degré vérifie $\Delta<0$ ?

L’équation possède une racine réelle égale à

-\frac{b}{2a}

L’équation admet une solution réelle double

L’équation n’admet aucune solution réelle

L’équation admet deux solutions réelles distinctes

Explication

Un discriminant négatif signifie que l’équation ne possède aucune solution réelle. La solution double apparaît lorsque $\Delta=0$ , tandis que deux solutions distinctes apparaissent lorsque $\Delta>0$ .

Question 17

17. Dans l’expression $f(x)=3x^2-5x+6$ , quelles sont les valeurs des coefficients du trinôme ?

a=-5

,

b=3

et

c=6

a=3

,

b=-5

et

c=6

a=6

,

b=-5

et

c=3

a=3

,

b=5

et

c=-6

Explication

En comparant l’expression à la forme générale $ax^2+bx+c$ , on identifie le coefficient de $x^2$ à $a$ , celui de $x$ à $b$ et le terme constant à $c$ . Le signe négatif devant $5x$ fait donc de $b$ le nombre $-5$ .

Question 18

18. Pour un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ ayant deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$ , quelles relations donnent leur somme et leur produit ?

x_1+x_2=-\frac{b}{a}

et

x_1x_2=\frac{c}{a}

x_1+x_2=-\frac{c}{a}

et

x_1x_2=\frac{b}{a}

x_1+x_2=\frac{c}{a}

et

x_1x_2=-\frac{b}{a}

x_1+x_2=\frac{b}{a}

et

x_1x_2=-\frac{c}{a}

Explication

La somme des racines est l’opposé du quotient du coefficient de $x$ par celui de $x^2$ , tandis que leur produit est le quotient du terme constant par ce même coefficient. Il faut donc distinguer les rôles de $-b/a$ et de $c/a$ .

Question 19

19. Que peut-on conclure sur la factorisation réelle du trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ lorsque son discriminant vérifie $\Delta<0$ ?

Il se factorise avec une racine réelle double

Il se factorise comme le carré d’un polynôme affine

Il n’admet pas de forme factorisée dans

\mathbb{R}

Il se factorise avec deux racines réelles distinctes

Explication

Un discriminant négatif signifie que le trinôme n’a aucune racine réelle et ne possède donc pas de forme factorisée dans $\mathbb{R}$ . Une racine double correspond à $\Delta=0$ , tandis que deux racines distinctes correspondent à $\Delta>0$ .

Question 20

20. Pour $\Delta>0$ , où le trinôme est-il de signe opposé à celui de $a$ , si $x_1<x_2$ sont ses deux racines ?

Sur l’intervalle

]-\infty,x_2[

Sur l’intervalle

]x_1,x_2[

Sur les intervalles

]-\infty,x_1[

et

]x_2,+\infty[

Au point

x_1

et au point

x_2

Explication

Lorsque $\Delta>0$ , le signe est opposé à celui de $a$ entre les deux racines, sur $]x_1,x_2[$ . À l’extérieur de cet intervalle, le trinôme a le même signe que $a$ .

Question 21

21. Quelle forme factorisée convient à un trinôme dont le discriminant est strictement positif et dont les racines sont $x_1$ et $x_2$ ?

f(x)=a(x-x_1)^2

avec une racine double

f(x)=a(x+x_1)(x+x_2)

avec des signes inversés

f(x)=a(x-x_1)(x-x_1)

avec deux facteurs identiques

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

avec

x_1\ne x_2

Explication

Pour $\Delta>0$ , le trinôme possède deux racines réelles distinctes, d’où la forme $a(x-x_1)(x-x_2)$ . Un facteur répété correspondrait à une racine double et donc à $\Delta=0$ .

Question 22

22. Quelle solution possède l’équation $ax^2+bx+c=0$ lorsque $\Delta=0$ ?

Une solution réelle double

x_0=-\frac{b}{2a}

Aucune solution réelle, car le trinôme ne s’annule pas

Deux solutions réelles distinctes

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}

et

x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

Une solution réelle simple

x_0=\frac{b}{2a}

Explication

Lorsque $\Delta=0$ , les deux racines se confondent en une solution réelle double, $x_0=-\frac{b}{2a}$ . L’absence de solution réelle correspond au cas $\Delta<0$ , tandis que deux solutions distinctes apparaissent lorsque $\Delta>0$ .

QCM : Fonctions polynômes du second degré — 22 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelles sont les coordonnées du sommet de la parabole représentant un trinôme écrit sous forme canonique ?

2. Quelle expression définit une fonction polynôme du second degré sur $\mathbb{R}$ ?

3. Quel élément détermine le nombre de solutions réelles de l’équation $ax^2+bx+c=0$ , avec $a\ne0$ ?

4. Que signifie qu’un nombre réel $\alpha$ est une racine d’une fonction $f$ ?

5. Quel est le signe d’un trinôme $ax^2+bx+c$ lorsque $\Delta<0$ ?

6. Quel type d’extrémum possède $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ lorsque $a<0$ ?

7. Quelle écriture caractérise la forme canonique d’une fonction polynôme du second degré ?

8. Sur la courbe représentative d’une fonction, que représentent graphiquement ses racines ?

9. Un trinôme vérifie $\Delta=0$ et a pour coefficient directeur $a$ . Quelle forme factorisée lui correspond, avec $x_0$ comme racine double ?

10. Comment varie le signe d’un trinôme lorsque $\Delta=0$ et que sa racine double est $x_0$ ?

11. Une fonction du second degré possède deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$ . Quelle factorisation lui correspond ?

12. Pour $\Delta>0$ , quelles formules donnent les deux solutions distinctes de $ax^2+bx+c=0$ ?

13. Pour $f(x)=2x^2-8x+3$ , quelles sont les valeurs de $\alpha$ et de $\beta$ dans la forme canonique ?

14. Quelle expression définit le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ ?

15. Un trinôme $f(x)=2x^2-10x+12$ possède deux racines distinctes. Quelle est la valeur de leur somme ?

16. Quelle conclusion peut-on tirer lorsque le discriminant d’une équation du second degré vérifie $\Delta<0$ ?

17. Dans l’expression $f(x)=3x^2-5x+6$ , quelles sont les valeurs des coefficients du trinôme ?

18. Pour un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ ayant deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$ , quelles relations donnent leur somme et leur produit ?

19. Que peut-on conclure sur la factorisation réelle du trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ lorsque son discriminant vérifie $\Delta<0$ ?

20. Pour $\Delta>0$ , où le trinôme est-il de signe opposé à celui de $a$ , si $x_1<x_2$ sont ses deux racines ?

21. Quelle forme factorisée convient à un trinôme dont le discriminant est strictement positif et dont les racines sont $x_1$ et $x_2$ ?

22. Quelle solution possède l’équation $ax^2+bx+c=0$ lorsque $\Delta=0$ ?

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QCM : Fonctions polynômes du second degré — 22 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelles sont les coordonnées du sommet de la parabole représentant un trinôme écrit sous forme canonique ?

2. Quelle expression définit une fonction polynôme du second degré sur R\mathbb{R}R ?

3. Quel élément détermine le nombre de solutions réelles de l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0, avec a≠0a\ne0a=0 ?

4. Que signifie qu’un nombre réel α\alphaα est une racine d’une fonction fff ?

5. Quel est le signe d’un trinôme ax2+bx+cax^2+bx+cax2+bx+c lorsque Δ<0\Delta<0Δ<0 ?

6. Quel type d’extrémum possède f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\betaf(x)=a(x−α)2+β lorsque a<0a<0a<0 ?

7. Quelle écriture caractérise la forme canonique d’une fonction polynôme du second degré ?

8. Sur la courbe représentative d’une fonction, que représentent graphiquement ses racines ?

9. Un trinôme vérifie Δ=0\Delta=0Δ=0 et a pour coefficient directeur aaa. Quelle forme factorisée lui correspond, avec x0x_0x0​ comme racine double ?

10. Comment varie le signe d’un trinôme lorsque Δ=0\Delta=0Δ=0 et que sa racine double est x0x_0x0​ ?

11. Une fonction du second degré possède deux racines distinctes x1x_1x1​ et x2x_2x2​. Quelle factorisation lui correspond ?

12. Pour Δ>0\Delta>0Δ>0, quelles formules donnent les deux solutions distinctes de ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 ?

13. Pour f(x)=2x2−8x+3f(x)=2x^2-8x+3f(x)=2x2−8x+3, quelles sont les valeurs de α\alphaα et de β\betaβ dans la forme canonique ?

14. Quelle expression définit le discriminant du trinôme ax2+bx+cax^2+bx+cax2+bx+c ?

15. Un trinôme f(x)=2x2−10x+12f(x)=2x^2-10x+12f(x)=2x2−10x+12 possède deux racines distinctes. Quelle est la valeur de leur somme ?

16. Quelle conclusion peut-on tirer lorsque le discriminant d’une équation du second degré vérifie Δ<0\Delta<0Δ<0 ?

17. Dans l’expression f(x)=3x2−5x+6f(x)=3x^2-5x+6f(x)=3x2−5x+6, quelles sont les valeurs des coefficients du trinôme ?

18. Pour un trinôme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c ayant deux racines distinctes x1x_1x1​ et x2x_2x2​, quelles relations donnent leur somme et leur produit ?

19. Que peut-on conclure sur la factorisation réelle du trinôme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c lorsque son discriminant vérifie Δ<0\Delta<0Δ<0 ?

20. Pour Δ>0\Delta>0Δ>0, où le trinôme est-il de signe opposé à celui de aaa, si x1<x2x_1<x_2x1​<x2​ sont ses deux racines ?

21. Quelle forme factorisée convient à un trinôme dont le discriminant est strictement positif et dont les racines sont x1x_1x1​ et x2x_2x2​ ?

22. Quelle solution possède l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 lorsque Δ=0\Delta=0Δ=0 ?

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2. Quelle expression définit une fonction polynôme du second degré sur $\mathbb{R}$ ?

3. Quel élément détermine le nombre de solutions réelles de l’équation $ax^2+bx+c=0$ , avec $a\ne0$ ?

4. Que signifie qu’un nombre réel $\alpha$ est une racine d’une fonction $f$ ?

5. Quel est le signe d’un trinôme $ax^2+bx+c$ lorsque $\Delta<0$ ?

6. Quel type d’extrémum possède $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ lorsque $a<0$ ?

9. Un trinôme vérifie $\Delta=0$ et a pour coefficient directeur $a$ . Quelle forme factorisée lui correspond, avec $x_0$ comme racine double ?

10. Comment varie le signe d’un trinôme lorsque $\Delta=0$ et que sa racine double est $x_0$ ?

11. Une fonction du second degré possède deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$ . Quelle factorisation lui correspond ?

12. Pour $\Delta>0$ , quelles formules donnent les deux solutions distinctes de $ax^2+bx+c=0$ ?

13. Pour $f(x)=2x^2-8x+3$ , quelles sont les valeurs de $\alpha$ et de $\beta$ dans la forme canonique ?

14. Quelle expression définit le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ ?

15. Un trinôme $f(x)=2x^2-10x+12$ possède deux racines distinctes. Quelle est la valeur de leur somme ?

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18. Pour un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ ayant deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$ , quelles relations donnent leur somme et leur produit ?

19. Que peut-on conclure sur la factorisation réelle du trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ lorsque son discriminant vérifie $\Delta<0$ ?

20. Pour $\Delta>0$ , où le trinôme est-il de signe opposé à celui de $a$ , si $x_1<x_2$ sont ses deux racines ?

21. Quelle forme factorisée convient à un trinôme dont le discriminant est strictement positif et dont les racines sont $x_1$ et $x_2$ ?

22. Quelle solution possède l’équation $ax^2+bx+c=0$ lorsque $\Delta=0$ ?