Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et formes du trinôme
2. Racines et factorisation
3. Somme et produit des racines
4. Forme canonique et discriminant
5. Variations et parabole
6. Résolution de l’équation
7. Factorisation selon le discriminant
8. Signe du trinôme

📖 1. Définition et formes du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur ℝ par f(x)=ax²+bx+c, où a, b et c sont réels et a≠0.

📝 Points essentiels

• Dans f(x)=3x²−5x+6, les coefficients sont a=3, b=−5 et c=6.

📌 L’expression 5x−3 est une fonction affine de degré 1, tandis que 0,3x⁵−0,1x⁴+x³−2x+1 est une fonction polynôme de degré 5.

📖 2. Racines et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine d’une fonction : Nombre réel α tel que f(α)=0 ; elle est donc une solution de l’équation f(x)=0.

★ À maîtriser

📌 Graphiquement, les racines d’une fonction sont les abscisses des points où sa courbe représentative coupe l’axe des abscisses.

📐 Formule — Si f(x)=ax²+bx+c possède deux racines distinctes x₁ et x₂, alors $f(x)=a(x-x₁)(x-x₂)$.

Compléments

• La fonction f(x)=2(x−3)² possède une seule racine double, x=3.

💡 Astuce mémo

Racine simple : deux facteurs distincts ; racine double : un facteur au carré.

📖 3. Somme et produit des racines

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour f(x)=ax²+bx+c ayant deux racines distinctes x₁ et x₂, leur somme vérifie $x₁+x₂=-\frac{b}{a}$ et leur produit vérifie $x₁x₂=\frac{c}{a}$.

💡 Astuce mémo

S = Somme = −b/a ; P = Produit = c/a.

📖 4. Forme canonique et discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Toute fonction polynôme du second degré f(x)=ax²+bx+c, avec a≠0, peut s’écrire sous la forme $f(x)=a(x-α)²+β$, appelée forme canonique.
• Discriminant : Réel Δ défini par $Δ=b²-4ac$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans la forme canonique $f(x)=a(x-α)²+β$, on a $α=-\frac{b}{2a}$ et $β=f(α)$.

Compléments

• La forme canonique de g(x)=3x²−12x+7 est g(x)=3(x−2)²−5.

💡 Astuce mémo

Une parabole recentrée autour de son sommet : a(x−α)²+β.

📖 5. Variations et parabole

🔑 Notions clés & Définitions

• Sommet de la parabole : La représentation graphique d’un trinôme est une parabole dont le sommet est S(α;β), où α=−b/(2a) et β=f(α).

★ À maîtriser

📌 Si a>0, la fonction f(x)=a(x−α)²+β admet un minimum égal à β en x=α ; si a<0, elle admet un maximum égal à β en x=α.

Compléments

• L’axe de symétrie de la parabole est la droite d’équation x=α, passant par le sommet et parallèle à l’axe des ordonnées.

💡 Astuce mémo

a>0 : minimum ; a<0 : maximum.

📖 6. Résolution de l’équation

★ À maîtriser

📌 Pour résoudre ax²+bx+c=0 avec a≠0, le signe du discriminant Δ détermine le nombre de solutions réelles.

📐 Formule — Si Δ=0, l’équation ax²+bx+c=0 possède une solution double $x₀=-\frac{b}{2a}$.

📐 Formule — Si Δ>0, les deux solutions distinctes de ax²+bx+c=0 sont $x₁=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}$ et $x₂=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}$.

📌 Si Δ<0, l’équation ax²+bx+c=0 n’admet aucune solution réelle.

Compléments

• Pour résoudre une équation du second degré, on calcule Δ, on détermine son signe, puis on applique le cas correspondant ou on utilise une factorisation évidente lorsqu’elle est disponible.

💡 Astuce mémo

Δ<0 : 0 solution ; Δ=0 : 1 solution ; Δ>0 : 2 solutions.

📖 7. Factorisation selon le discriminant

📝 Points essentiels

📌 Si Δ<0, le trinôme ax²+bx+c n’a pas de forme factorisée dans ℝ.

📐 Formule — Si Δ=0, le trinôme se factorise selon $f(x)=a(x-x₀)²$ avec $x₀=-\frac{b}{2a}$.

📐 Formule — Si Δ>0, le trinôme se factorise selon $f(x)=a(x-x₁)(x-x₂)$, où x₁ et x₂ sont ses deux racines distinctes.

💡 Astuce mémo

Aucune factorisation réelle, carré parfait, puis deux facteurs.

📖 8. Signe du trinôme

★ À maîtriser

• Si Δ<0, le trinôme garde partout le signe de a et ne s’annule jamais.

• Si Δ=0, le trinôme garde le signe de a de part et d’autre de la racine double x₀ et vaut zéro en x₀.

• Si Δ>0, le trinôme a le signe de a sur ]−∞,x₁[ et ]x₂,+∞[, et le signe opposé à a sur ]x₁,x₂[.

Compléments

📌 L’étude du signe d’un trinôme permet de résoudre les inéquations du second degré ax²+bx+c≤0, ax²+bx+c<0, ax²+bx+c≥0 et ax²+bx+c>0.

💡 Astuce mémo

Le signe de Δ détermine les racines, puis le signe alterne ou non selon a.

📊 Tableaux de synthèse

Nombre de solutions selon le discriminant

Signe du trinôme