Fiche de révision : Décrire un mouvement

📋 Plan du Cours

1. Cinématique et vecteur position
2. Vecteur vitesse et dérivation
3. Vecteur accélération
4. Mouvements rectilignes
5. Repère de Frenet circulaire
6. Mouvement circulaire uniforme

📖 1. Cinématique et vecteur position

🔑 Notions clés & Définitions

• Cinématique du point : Étude de la position, de la vitesse et de l’accélération d’un point à chaque instant.
• Vecteur position : Le vecteur position d’un point M est repéré par ses coordonnées cartésiennes dans un repère d’espace orthonormé et s’écrit, dans un mouvement plan, $\overrightarrow{OM}(t)=x(t)\vec{i}+y(t)\vec{j}$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Dans un mouvement plan, la norme du vecteur position vérifie $\left\|\overrightarrow{OM}(t)\right\|=\sqrt{x^2(t)+y^2(t)}$ et s’exprime en mètre.

📖 2. Vecteur vitesse et dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur vitesse : Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps, soit $\vec{v}(t)=\frac{d\overrightarrow{OM}(t)}{dt}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Les coordonnées cartésiennes de la vitesse sont $v_x(t)=\frac{dx(t)}{dt}$ et $v_y(t)=\frac{dy(t)}{dt}$, donc $\vec{v}(t)=\frac{dx}{dt}\vec{i}+\frac{dy}{dt}\vec{j}$.

• Le vecteur vitesse est appliqué en M, tangent à la trajectoire, orienté dans le sens du mouvement, et sa norme vaut $\|\vec{v}\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$ en m/s.

Compléments

• La vitesse instantanée est obtenue comme la limite de la vitesse moyenne lorsque la durée $\Delta t$ tend vers zéro.

• Pour un motard dont la fonction de position vérifie $v_x(t)=2{,}3+2t$, la vitesse à $t=3{,}0\ \mathrm{s}$ vaut environ $14\ \mathrm{m\,s^{-1}}$.

💡 Astuce mémo

Position → dérivée → vitesse

📖 3. Vecteur accélération

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur accélération : Le vecteur accélération caractérise la variation du vecteur vitesse en fonction du temps et se définit par $\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}(t)}{dt}$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Dans un mouvement plan, la norme de l’accélération vérifie $a(t)=\sqrt{a_x^2(t)+a_y^2(t)}$.

💡 Astuce mémo

Variation de la vitesse → accélération

📖 4. Mouvements rectilignes

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement rectiligne : Trajectoire qui est une droite.

★ À maîtriser

📌 Un mouvement rectiligne uniforme possède une vitesse constante et une accélération nulle, tandis qu’un mouvement rectiligne uniformément varié possède une accélération constante.

📌 Un mouvement rectiligne est uniformément accéléré lorsque les vecteurs vitesse et accélération ont le même sens, et uniformément ralenti lorsqu’ils ont des sens opposés.

Compléments

📐 Formule — Pour un mouvement suivant l’axe Ox, les vecteurs vitesse et accélération s’écrivent $\vec{v}(t)=(v_x(t),0)$ et $\vec{a}(t)=(a_x(t),0)$.

💡 Astuce mémo

Vitesse constante : uniforme ; accélération constante : uniformément varié

📖 5. Repère de Frenet circulaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère de Frenet : Le repère de Frenet est un repère mobile d’origine M constitué de deux vecteurs unitaires orthonormés, le vecteur tangent $\vec{u_t}$ orienté dans le sens du mouvement et le vecteur normal $\vec{u_n}$ orienté vers l’intérieur de la trajectoire.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour un mouvement circulaire de rayon R, le vecteur vitesse dans le repère de Frenet vaut $\vec{v}=v\vec{u_t}$ et le vecteur accélération vaut $\vec{a}=\frac{dv}{dt}\vec{u_t}+\frac{v^2}{R}\vec{u_n}$.

📐 Formule — Dans le repère de Frenet, l’accélération tangentielle vaut $a_t=\frac{dv}{dt}$ et l’accélération normale vaut $a_n=\frac{v^2}{R}$.

💡 Astuce mémo

Une flèche tangentielle et une flèche normale pointant vers le centre

📖 6. Mouvement circulaire uniforme

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement circulaire uniforme : Un mouvement circulaire uniforme est un mouvement sur un cercle dont la vitesse scalaire est constante, bien que le vecteur vitesse change continuellement de direction.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un mouvement circulaire uniforme, l’accélération tangentielle est nulle et l’accélération vaut $\vec{a}=\frac{v^2}{R}\vec{u_n}$, orientée radialement vers le centre de la trajectoire.

Compléments

• Pour le satellite Hubble, le rayon orbital indiqué est $R=7000\ \mathrm{km}$, la période est $T=1\ \mathrm{h}\ 37\ \mathrm{min}$ et la vitesse calculée dans la source vaut environ $7{,}6\times10^3\ \mathrm{m\,s^{-1}}$.

💡 Astuce mémo

La norme de la vitesse reste constante, mais sa direction change

📊 Tableaux de synthèse

Types de mouvements