Fiche de révision : Calcul de puissances

📋 Plan du Cours

1. Définition et signe des puissances
2. Priorité des opérations
3. Puissances et parenthèses
4. Puissances de dix
5. Exposants négatifs

📖 1. Définition et signe des puissances

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Une puissance indique combien de fois on multiplie un nombre par lui-même, et le nombre répété s’appelle la base tandis que le nombre qui indique les répétitions s’appelle l’exposant.

★ À maîtriser

• Dans $(-2)^3$, la base est -2 et l’exposant est 3, donc le calcul est $(-2)\times(-2)\times(-2)=-8$.

📌 Le signe du résultat dépend du nombre de facteurs négatifs : un nombre impair de facteurs négatifs donne un résultat négatif, tandis qu’un nombre pair donne un résultat positif.

Compléments

• Le calcul $-1^4$ vaut -1, car l’exposant porte seulement sur 1 et le signe moins reste devant.

💡 Astuce mémo

Avec parenthèses, le signe est exposé ; sans parenthèses, il reste devant.

📖 2. Priorité des opérations

★ À maîtriser

📌 Dans un calcul contenant une puissance et une multiplication, la puissance est effectuée avant la multiplication.

• Dans $-2\times5^2$, on calcule d’abord $5^2=25$, puis $-2\times25=-50$.

Compléments

• Dans $3\times10^4+2\times10^2$, on calcule d’abord les puissances, puis les multiplications et enfin l’addition, ce qui donne 30 000 + 200 = 30 200.

💡 Astuce mémo

Puissance puis multiplication.

📖 3. Puissances et parenthèses

📝 Points essentiels

• Pour calculer une expression avec une parenthèse élevée à une puissance, on calcule d’abord l’expression dans la parenthèse, puis on élève le résultat à la puissance indiquée.

• Dans $(2-7)^3$, on calcule d’abord $2-7=-5$, puis $(-5)^3=(-5)\times(-5)\times(-5)=-125$.

📌 Dans $( -2)^3$, toute la base négative est entre parenthèses, tandis que dans $-2^3$ l’exposant porte seulement sur 2 et le signe moins reste extérieur.

💡 Astuce mémo

L’exposant accroché à la parenthèse emporte tout son contenu.

📖 4. Puissances de dix

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance de dix : Une puissance de dix correspond à une multiplication répétée par 10, et $10^n$ s’écrit comme 1 suivi de n zéros.

📝 Points essentiels

• La puissance $10^4$ vaut 10 000, car elle correspond à 1 suivi de quatre zéros.

💡 Astuce mémo

Chaque facteur dix ajoute un zéro.

📖 5. Exposants négatifs

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout nombre non nul a et tout entier n, une puissance d’exposant négatif vérifie $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

📐 Formule — Pour tout nombre non nul a, $a^{-1}=\frac{1}{a}$, ce qui signifie que l’exposant -1 donne l’inverse de la base.

• La puissance $\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}$ vaut l’inverse de $\frac{2}{3}$, soit $\frac{3}{2}$.

Compléments

• La puissance $2^{-1}$ vaut $\frac{1}{2}$.

💡 Astuce mémo

Exposant négatif → inversion dans une fraction.

📊 Tableaux de synthèse

Signe et parenthèses