Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et formes développées
2. Forme canonique et calcul
3. Variations et extremum
4. Parabole et symétrie
5. Équations et discriminant
6. Résolution par le discriminant
7. Somme et produit des racines

📖 1. Définition et formes développées

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur R dont l’expression s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont réels et $a\ne0$.

📝 Points essentiels

📌 Une expression développée est directement écrite sous la forme $ax^2+bx+c$, tandis qu’une expression factorisée doit être développée pour identifier a, b et c.

• Pour $i(x)=(x-1)(3x+4)$, le développement donne $i(x)=3x^2+x-4$, donc $a=3$, $b=1$ et $c=-4$.

📌 La fonction $j(x)=-5x+7$ est affine de degré 1, tandis que $k(x)=4x^3+7x^2+x+1$ est de degré 3 et n’est pas du second degré.

💡 Astuce mémo

Degré 2 : ax²+bx+c avec a≠0, contrairement aux degrés 1 et 3

📖 2. Forme canonique et calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Toute fonction polynôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$ peut s’écrire sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

★ À maîtriser

• Pour établir une forme canonique, on peut développer l’expression proposée, factoriser puis compléter le carré, ou calculer directement $\alpha=-\frac{b}{2a}$ puis $\beta=f(\alpha)$.

Compléments

• Pour $f(x)=2x^2-4x+5$, on obtient la forme canonique $f(x)=2(x-1)^2+3$.

💡 Astuce mémo

Développer, factoriser ou calculer α puis β

📖 3. Variations et extremum

★ À maîtriser

📌 Si $a>0$, la fonction est décroissante puis croissante et admet un minimum égal à β atteint en $x=\alpha$.

📌 Si $a<0$, la fonction est croissante puis décroissante et admet un maximum égal à β atteint en $x=\alpha$.

Compléments

• Pour $f(x)=2(x-1)^2+3$, on a $f(x)\ge3$ pour tout réel x, donc le minimum est atteint en $x=1$ et vaut 3.

• Pour $g(x)=-3x^2+12x$, on a $\alpha=2$ et $\beta=12$, donc g atteint son maximum 12 en x=2.

💡 Astuce mémo

Signe de a → sens de la parabole → minimum ou maximum

📖 4. Parabole et symétrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : La représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré est une parabole d’équation $y=ax^2+bx+c$.
• Sommet de la parabole : Le point $S(\alpha;\beta)$ associé à la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.

📝 Points essentiels

📌 L’axe de symétrie de la parabole est la droite verticale d’équation $x=\alpha$ qui passe par son sommet.

💡 Astuce mémo

Un sommet S posé sur l’axe vertical x=α, avec une parabole ouverte vers le haut ou le bas

📖 5. Équations et discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Une équation qui s’écrit $ax^2+bx+c=0$, où a, b et c sont réels et $a\ne0$.
• Discriminant : Le nombre $\Delta=b^2-4ac$.

★ À maîtriser

• Si $\Delta<0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’a aucune solution réelle.

• Si $\Delta=0$, l’équation a une unique solution réelle $x_0=-\frac{b}{2a}$.

• Si $\Delta>0$, l’équation a deux solutions réelles $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Compléments

📌 Graphiquement, une racine est l’abscisse d’un point d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses.

💡 Astuce mémo

Δ<0 : zéro racine ; Δ=0 : une racine ; Δ>0 : deux racines

📖 6. Résolution par le discriminant

★ À maîtriser

• 🔄 Pour résoudre une équation du second degré, on: identifie a, b et c, calcule le discriminant, détermine le nombre de solutions selon le signe de Δ, applique la formule adaptée

Compléments

• Pour $3x^2-4x+5=0$, le discriminant vaut $\Delta=-44$, donc l’ensemble des solutions réelles est $S=\varnothing$.

• Pour $-\frac12x^2+x-\frac12=0$, le discriminant vaut 0 et l’unique solution réelle est $S=\{1\}$.

• Pour $2x^2+5x-7=0$, le discriminant vaut $\Delta=81$ et les deux solutions réelles sont $S=\{-3{,}5;1\}$.

• Pour $x^2-5x+2=0$, les deux solutions réelles sont $x_1=\frac{5-\sqrt{17}}2$ et $x_2=\frac{5+\sqrt{17}}2$.

💡 Astuce mémo

Identifier a,b,c → calculer Δ → choisir le nombre de solutions → appliquer la formule

📖 7. Somme et produit des racines

★ À maîtriser

📐 Formule — Lorsque $\Delta>0$, la somme des racines vérifie $x_1+x_2=-\frac ba$ et leur produit vérifie $x_1x_2=\frac ca$.

Compléments

• Pour le trinôme $2x^2+5x-7$, si 1 est une racine, la relation sur le produit permet de retrouver l’autre racine.

💡 Astuce mémo

SP : Somme = −b/a, Produit = c/a

📊 Tableaux de synthèse

Signe du discriminant et racines