QCM : Fonctions polynômes du second degré — 16 questions

Explication

En développant, on obtient $i(x)=3x^2+4x-3x-4=3x^2+x-4$. Les coefficients sont donc $a=3$, $b=1$ et $c=-4$; les autres réponses proviennent d’une mauvaise distribution ou d’un regroupement incorrect des termes.

Explication

Une fonction du second degré s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$, ce qui est le cas de la première expression. L’expression affine proposée est de degré 1, tandis que les deux autres ne correspondent pas à la forme polynomiale du second degré.

Explication

Pour $\Delta>0$, la somme des racines est l’opposé du coefficient de $x$ rapporté au coefficient dominant, tandis que leur produit est le terme constant rapporté à ce même coefficient. La confusion fréquente consiste à intervertir ces deux relations ou leurs signes.

Explication

On écrit $x+4=x-(-4)$, donc $\alpha=-4$ et l’axe de symétrie est la droite verticale $x=\alpha$. La droite $y=1$ correspond à une valeur d’ordonnée liée au sommet, mais ce n’est pas un axe vertical de symétrie.

Explication

Le discriminant se calcule avec $\Delta=b^2-4ac$ ; ici, $\Delta=(-3)^2-4\times2\times4=9-32=-23$. La valeur 23 correspondrait à une erreur de signe dans la soustraction.

Explication

Pour cette équation, le discriminant est nul, donc elle admet une unique solution réelle donnée par $x_0=-\frac{b}{2a}=1$. Le cas d’un discriminant nul ne produit pas deux solutions distinctes.

Explication

Le produit des racines vaut $\frac{c}{a}=\frac{-7}{2}$. Comme l’une des racines vaut $1$, l’autre vérifie $1\times x_2=-\frac{7}{2}$, donc $x_2=-\frac{7}{2}$; la valeur $\frac{7}{2}$ oublie le signe négatif du terme constant.

Explication

La méthode consiste à identifier les coefficients, calculer le discriminant, déterminer le nombre de solutions grâce à son signe, puis utiliser la formule correspondante. Le signe de $\Delta$ intervient donc avant le choix de la formule et de l’expression des solutions.

Explication

Ici, $\alpha=-\frac{12}{2\times(-3)}=2$ et $\beta=g(2)=12$; la fonction atteint donc son maximum en $x=2$. La valeur $9$ résulte d’un calcul erroné de l’image, tandis que les autres réponses contiennent une erreur de signe ou d’abscisse.

Explication

Dans la forme canonique, l’abscisse du sommet est calculée par $\alpha=-\frac{b}{2a}$, puis l’ordonnée vaut $\beta=f(\alpha)$. Le signe moins et le rôle de $a$ et $b$ sont essentiels; $c$ n’intervient pas directement dans cette formule.

Explication

Si $\Delta>0$, l’équation possède deux solutions réelles distinctes obtenues avec les expressions contenant $\sqrt{\Delta}$. La formule $-\frac{b}{2a}$ concerne le cas $\Delta=0$, tandis que remplacer $\sqrt{\Delta}$ par $\Delta$ donne une formule incorrecte.

Explication

Lorsque $a>0$, la parabole est ouverte vers le haut : la fonction décroît jusqu’à $x=\alpha$, puis croît, et son minimum vaut $\beta$. Le comportement inverse correspond au cas $a<0$, tandis que les deux autres réponses intervertissent les coordonnées du sommet.

Explication

Lorsque $\Delta<0$, une équation du second degré ne possède aucune solution réelle. Une solution unique correspond au cas $\Delta=0$, tandis que deux solutions réelles distinctes correspondent au cas $\Delta>0$.

Explication

Dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, le sommet a pour coordonnées $S(\alpha;\beta)$, donc ici $S(2;-5)$. La valeur 3 est le coefficient $a$ et ne donne pas l’abscisse du sommet.

Explication

On obtient $\alpha=-\frac{-4}{2\times2}=1$ et $\beta=f(1)=3$, d’où $f(x)=2(x-1)^2+3$. Les autres formes comportent une erreur de signe, de constante ou de réécriture du coefficient principal.

Explication

Une équation du second degré s’écrit $ax^2+bx+c=0$ avec $a\ne0$ ; ici, $a=3$. Dans la deuxième expression, le coefficient de $x^2$ est nul, tandis que les deux autres équations ne sont pas du second degré.