Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et forme développée
2. Forme factorisée et racines
3. Mise sous forme canonique
4. Sommet et symétrie
5. Résolution par forme canonique
6. Variations de la parabole

📖 1. Définition et forme développée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$, avec a, b et c réels et $a\neq0$.

★ À maîtriser

• La fonction $f(x)=(2-x)(4+2x)$ se développe en $f(x)=-2x^2+8$, donc elle est un polynôme du second degré avec $a=-2$, $b=0$ et $c=8$.

Compléments

• Dans la forme développée $f(x)=ax^2+bx+c$, a est le coefficient dominant, b est le coefficient de x et c est la constante.

• Pour développer un produit de deux expressions, on distribue chaque terme du premier facteur à chaque terme du second, puis on réduit les termes semblables.

📖 2. Forme factorisée et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme factorisée : La forme factorisée d'un polynôme du second degré est $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $a\neq0$.
• Racines d'une fonction : Solutions de l'équation $f(x)=0$.

★ À maîtriser

📌 Dans la forme factorisée $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, les racines sont x₁ et x₂, car un produit est nul lorsqu'au moins un de ses facteurs est nul.

📐 Formule — Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, la somme des racines vérifie $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et leur produit vérifie $x_1x_2=\frac{c}{a}$.

Compléments

• Pour $h(x)=x^2-5x+6$, une racine évidente est 2 car $h(2)=0$, et la somme des racines vaut 5, donc l'autre racine est 3.

💡 Astuce mémo

Factorisation → racines par annulation des facteurs

📖 3. Mise sous forme canonique

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Écriture $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $a\neq0$.

★ À maîtriser

• Pour mettre $f(x)=ax^2+bx+c$ sous forme canonique, on factorise a devant les termes contenant x, on complète le carré grâce à une identité remarquable, puis on simplifie.

Compléments

• La fonction $f(x)=3x^2-24x+7$ s'écrit sous forme canonique $f(x)=3(x-4)^2-41$, donc $\alpha=4$ et $\beta=-41$.

• Les fonctions $g(x)=2x^2-12x+1$ et $h(x)=-x^2-6x+7$ ont respectivement pour formes canoniques $g(x)=2(x-3)^2-17$ et $h(x)=-(x+3)^2+16$.

💡 Astuce mémo

Factoriser, compléter le carré, simplifier

📖 4. Sommet et symétrie

★ À maîtriser

📌 Pour une fonction sous forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, le sommet de la parabole a pour coordonnées $S(\alpha;\beta)$ et son axe de symétrie a pour équation $x=\alpha$.

📌 La valeur β est un minimum lorsque $a>0$ et un maximum lorsque $a<0$; cet extremum est atteint pour $x=\alpha$.

Compléments

📐 Formule — Lorsque la parabole possède deux racines x₁ et x₂, l'abscisse du sommet vérifie $\alpha=\frac{x_1+x_2}{2}$ et son ordonnée vérifie $\beta=f(\alpha)$.

💡 Astuce mémo

a>0 : minimum ; a<0 : maximum

📖 5. Résolution par forme canonique

📝 Points essentiels

• Pour résoudre une équation à l'aide de la forme canonique, on isole le carré, on prend les deux racines opposées lorsque le second membre est positif, puis on résout les deux équations obtenues.

• L'équation $x^2-4x-5=0$ devient $(x-2)^2=9$, donc ses solutions sont $x=5$ et $x=-1$.

💡 Astuce mémo

Carré isolé → racine positive ou négative

📖 6. Variations de la parabole

★ À maîtriser

📌 Si $a>0$, la fonction est décroissante sur $]-\infty;\alpha]$ puis croissante sur $[\alpha;+\infty[$.

Compléments

• La fonction $f(t)=2(t-3)^2+5$ est décroissante jusqu'à 3 puis croissante après 3, car son coefficient dominant est positif.

• La fonction $h(u)=-\frac14(u-6)^2-\frac13$ est croissante jusqu'à 6 puis décroissante après 6, car son coefficient dominant est négatif.

💡 Astuce mémo

a>0 : descend puis monte ; a<0 : monte puis descend

📊 Tableaux de synthèse

Formes d'un polynôme du second degré