QCM : Fonctions polynômes du second degré — 14 questions

Question 1

1. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré sur $\mathbb{R}$ ?

f(x)=5x-4

f(x)=\frac{2}{x}+1

f(x)=3x^2-2x+1

f(x)=|x|+3

Explication

Une fonction polynôme du second degré s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$ , ce qui est le cas de la première expression. Une fonction affine comme $5x-4$ ne comporte pas de terme en $x^2$ .

Answer

$$f(x)=3x^2-2x+1$$

Question 2

2. Quelle est la forme développée de $f(x)=(2-x)(4+2x)$ ?

-2x^2+8

-2x^2+4x+8

2x^2+8x+8

-2x^2+8x+4

Explication

En distribuant les termes puis en réduisant, on obtient $f(x)=8+4x-4x-2x^2=-2x^2+8$ . L’expression ne contient donc pas de terme en $x$ .

Answer

$$-2x^2+8$$

Question 3

3. Quelle expression est une forme factorisée d’un polynôme du second degré ?

3x^2-6x+5

3(x-2)^2+5

3(x-2)(x+5)

3x^2+9x-30

Explication

La forme factorisée s’écrit $a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $a\neq0$ ; $3(x-2)(x+5)$ respecte cette structure. Les autres expressions sont développées ou canoniques plutôt que factorisées.

Answer

$$3(x-2)(x+5)$$

Question 4

4. Que représentent les racines d’une fonction polynôme du second degré ?

Les solutions de l’équation

f(x)=0

Les coefficients du terme en

x^2

Les abscisses où la fonction vaut son coefficient constant

Les valeurs de la fonction en son sommet

Explication

Les racines sont précisément les valeurs de $x$ qui vérifient $f(x)=0$ . Elles ne désignent ni les coordonnées du sommet ni les coefficients de l’expression développée.

Answer

Les solutions de l’équation $$f(x)=0$$

Question 5

5. Pour $f(x)=4(x-3)(x+2)$ , quelles sont les racines de la fonction ?

-3

et

2

12

et

-8

5

et

-1

3

et

-2

Explication

Un produit est nul lorsqu’au moins un de ses facteurs est nul : $x-3=0$ ou $x+2=0$ . Les racines sont donc $3$ et $-2$ , et non leurs différences ou leurs produits par le coefficient.

Answer

$$3$$ et $$-2$$

Question 6

6. Pour $f(x)=2x^2-10x+12$ , quel est le produit des racines ?

-5

6

12

5

Explication

La relation $x_1x_2=\frac{c}{a}$ donne ici $x_1x_2=\frac{12}{2}=6$ . La valeur $5$ correspond à la somme des racines, car $x_1+x_2=-\frac{b}{a}=5$ .

Answer

Factoriser $$a$$ devant les termes en $$x$$, compléter le carré, puis simplifier

Answer

$$3(x-4)^2-41$$

Answer

Le sommet est $$S(4;-7)$$ et l’axe est $$x=4$$

Answer

Elle représente un maximum atteint pour $$x=\alpha$$

Answer

Isoler le carré, prendre les deux racines opposées, puis résoudre les deux équations

Answer

$$x=5$$ et $$x=-1$$

Answer

Elle décroît sur $$]-\infty;\alpha]$$ puis croît sur $$[\alpha;+\infty[$$

Answer

La fonction croît jusqu’à 6 puis décroît après 6

Question 7

7. Quelle succession d’opérations permet de mettre $f(x)=ax^2+bx+c$ sous forme canonique ?

Factoriser le terme constant, développer le carré, puis réduire

Factoriser

a

devant les termes en

x

, compléter le carré, puis simplifier

Calculer les racines, multiplier les coefficients, puis distribuer

Développer les facteurs, supprimer le terme constant, puis ordonner

Explication

La mise sous forme canonique consiste à factoriser $a$ devant les termes contenant $x$ , à compléter le carré avec une identité remarquable, puis à simplifier. Calculer les racines ou supprimer le terme constant ne constitue pas cette procédure.

Question 8

8. Quelle est la forme canonique de $f(x)=3x^2-24x+7$ ?

3(x-8)^2-41

3(x+4)^2-41

3(x-4)^2-41

3(x-4)^2+41

Explication

En factorisant puis en complétant le carré, on obtient $3x^2-24x+7=3(x-4)^2-41$ . Le signe dans le carré et la constante résultent directement du développement de cette expression.

Question 9

9. Pour la fonction $f(x)=3(x-4)^2-7$ , quelles sont les coordonnées du sommet et l’équation de l’axe de symétrie ?

Le sommet est

S(4;-7)

et l’axe est

x=4

Le sommet est

S(-4;7)

et l’axe est

x=-4

Le sommet est

S(4;7)

et l’axe est

x=4

Le sommet est

S(-4;-7)

et l’axe est

x=-4

Explication

Dans la forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ , le sommet est $S(\alpha;\beta)$ et l’axe de symétrie est $x=\alpha$ . Les signes de $\alpha$ et de $\beta$ se lisent après identification directe dans l’expression donnée.

Question 10

10. Pour une fonction de forme canonique dont le coefficient $a$ est négatif, quelle propriété possède la valeur $\beta$ ?

Elle représente un maximum atteint pour

x=\alpha

Elle représente un minimum atteint pour

x=\alpha

Elle représente un minimum atteint pour

x=\beta

Elle représente un maximum atteint pour

x=\beta

Explication

Lorsque $a<0$ , la parabole est tournée vers le bas et $\beta$ est un maximum atteint en $x=\alpha$ . L’erreur fréquente consiste à associer ce cas à un minimum, qui correspond au contraire à $a>0$ .

Question 11

11. Quelle démarche permet de résoudre une équation du second degré écrite sous forme canonique ?

Isoler le carré, prendre les deux racines opposées, puis résoudre les deux équations

Additionner les deux membres, factoriser le coefficient, puis comparer les ordonnées

Développer le carré, supprimer le terme constant, puis garder une seule solution

Isoler le coefficient, prendre une racine positive, puis remplacer dans l’expression initiale

Explication

La résolution consiste à isoler le carré, puis à utiliser les deux valeurs opposées lorsque le second membre est positif avant de résoudre les deux équations obtenues. Garder une seule racine ferait perdre une des solutions possibles.

Question 12

12. Quelles sont les solutions de l’équation $x^2-4x-5=0$ après mise sous forme canonique ?

x=3

et

x=-3

x=2

et

x=-2

x=4

et

x=-5

x=5

et

x=-1

Explication

L’équation se réécrit $\left(x-2\right)^2=9$ , donc $x-2=3$ ou $x-2=-3$ , ce qui donne les deux solutions indiquées. Les valeurs $2$ et $-2$ correspondent aux racines carrées de 4, pas à cette équation.

Question 13

13. Pour une fonction $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $a>0$ , comment évolue la fonction autour de $\alpha$ ?

Elle croît sur

]-\infty;\alpha]

puis décroît sur

[\alpha;+\infty[

Elle décroît sur

]-\infty;\beta]

puis croît sur

[\beta;+\infty[

Elle croît sur

]-\infty;\beta]

puis décroît sur

[\beta;+\infty[

Elle décroît sur

]-\infty;\alpha]

puis croît sur

[\alpha;+\infty[

Explication

Un coefficient positif donne une parabole tournée vers le haut : la fonction descend jusqu’à l’abscisse du sommet $\alpha$ , puis remonte. La valeur $\beta$ est l’ordonnée du sommet et ne détermine pas les intervalles de variation.

Question 14

14. Comment varient les valeurs de la fonction $h(u)=-\frac14(u-6)^2-\frac13$ de part et d’autre de $u=6$ ?

La fonction décroît jusqu’à 6 puis croît après 6

La fonction croît jusqu’à 6 puis décroît après 6

La fonction croît jusqu’à

-6

puis décroît après

-6

La fonction décroît jusqu’à

-6

puis croît après

-6

Explication

Le coefficient dominant $-\frac14$ est négatif, donc la parabole est tournée vers le bas : elle croît jusqu’à l’abscisse du sommet, $u=6$ , puis décroît. Le signe négatif situé dans $u-6$ ne change pas l’abscisse du sommet, qui reste 6.

QCM : Fonctions polynômes du second degré — 14 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré sur $\mathbb{R}$ ?

2. Quelle est la forme développée de $f(x)=(2-x)(4+2x)$ ?

3. Quelle expression est une forme factorisée d’un polynôme du second degré ?

4. Que représentent les racines d’une fonction polynôme du second degré ?

5. Pour $f(x)=4(x-3)(x+2)$ , quelles sont les racines de la fonction ?

6. Pour $f(x)=2x^2-10x+12$ , quel est le produit des racines ?

7. Quelle succession d’opérations permet de mettre $f(x)=ax^2+bx+c$ sous forme canonique ?

8. Quelle est la forme canonique de $f(x)=3x^2-24x+7$ ?

9. Pour la fonction $f(x)=3(x-4)^2-7$ , quelles sont les coordonnées du sommet et l’équation de l’axe de symétrie ?

10. Pour une fonction de forme canonique dont le coefficient $a$ est négatif, quelle propriété possède la valeur $\beta$ ?

11. Quelle démarche permet de résoudre une équation du second degré écrite sous forme canonique ?

12. Quelles sont les solutions de l’équation $x^2-4x-5=0$ après mise sous forme canonique ?

13. Pour une fonction $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $a>0$ , comment évolue la fonction autour de $\alpha$ ?

14. Comment varient les valeurs de la fonction $h(u)=-\frac14(u-6)^2-\frac13$ de part et d’autre de $u=6$ ?

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QCM : Fonctions polynômes du second degré — 14 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré sur R\mathbb{R}R ?

2. Quelle est la forme développée de f(x)=(2−x)(4+2x)f(x)=(2-x)(4+2x)f(x)=(2−x)(4+2x) ?

3. Quelle expression est une forme factorisée d’un polynôme du second degré ?

4. Que représentent les racines d’une fonction polynôme du second degré ?

5. Pour f(x)=4(x−3)(x+2)f(x)=4(x-3)(x+2)f(x)=4(x−3)(x+2), quelles sont les racines de la fonction ?

6. Pour f(x)=2x2−10x+12f(x)=2x^2-10x+12f(x)=2x2−10x+12, quel est le produit des racines ?

7. Quelle succession d’opérations permet de mettre f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c sous forme canonique ?

8. Quelle est la forme canonique de f(x)=3x2−24x+7f(x)=3x^2-24x+7f(x)=3x2−24x+7 ?

9. Pour la fonction f(x)=3(x−4)2−7f(x)=3(x-4)^2-7f(x)=3(x−4)2−7, quelles sont les coordonnées du sommet et l’équation de l’axe de symétrie ?

10. Pour une fonction de forme canonique dont le coefficient aaa est négatif, quelle propriété possède la valeur β\betaβ ?

11. Quelle démarche permet de résoudre une équation du second degré écrite sous forme canonique ?

12. Quelles sont les solutions de l’équation x2−4x−5=0x^2-4x-5=0x2−4x−5=0 après mise sous forme canonique ?

13. Pour une fonction f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\betaf(x)=a(x−α)2+β avec a>0a>0a>0, comment évolue la fonction autour de α\alphaα ?

14. Comment varient les valeurs de la fonction h(u)=−14(u−6)2−13h(u)=-\frac14(u-6)^2-\frac13h(u)=−41​(u−6)2−31​ de part et d’autre de u=6u=6u=6 ?

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1. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré sur $\mathbb{R}$ ?

2. Quelle est la forme développée de $f(x)=(2-x)(4+2x)$ ?

5. Pour $f(x)=4(x-3)(x+2)$ , quelles sont les racines de la fonction ?

6. Pour $f(x)=2x^2-10x+12$ , quel est le produit des racines ?

7. Quelle succession d’opérations permet de mettre $f(x)=ax^2+bx+c$ sous forme canonique ?

8. Quelle est la forme canonique de $f(x)=3x^2-24x+7$ ?

9. Pour la fonction $f(x)=3(x-4)^2-7$ , quelles sont les coordonnées du sommet et l’équation de l’axe de symétrie ?

10. Pour une fonction de forme canonique dont le coefficient $a$ est négatif, quelle propriété possède la valeur $\beta$ ?

12. Quelles sont les solutions de l’équation $x^2-4x-5=0$ après mise sous forme canonique ?

13. Pour une fonction $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $a>0$ , comment évolue la fonction autour de $\alpha$ ?

14. Comment varient les valeurs de la fonction $h(u)=-\frac14(u-6)^2-\frac13$ de part et d’autre de $u=6$ ?