Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Histoire des équations du second degré
2. Définition et formes du trinôme
3. Sommet et variations de la parabole
4. Racines et factorisation du trinôme
5. Signe sous forme factorisée
6. Complétion du carré et forme canonique
7. Discriminant et résolution générale
8. Signe selon le discriminant

📖 1. Histoire des équations du second degré

📝 Points essentiels

• Les Babyloniens écrivaient des mathématiques en cunéiformes sur des tablettes d’argile environ 4000 ans avant nous et comptaient en base 60.

• Les Babyloniens connaissaient le théorème de Pythagore et savaient extraire des racines carrées.

📐 Formule - Les Babyloniens utilisaient l’égalité $ab=\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2$ pour multiplier deux nombres a et b.

• Al-Khwarizmi, mathématicien persan du neuvième siècle, a écrit un ouvrage posant les fondements de l’algèbre et de la résolution des équations du second degré à l’aide d’un système de numération décimal positionnel inspiré des Indiens.

📖 2. Définition et formes du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec a non nul et b et c réels.
• Parabole : Courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré.
• Forme développée : La forme développée d’une fonction polynôme du second degré est $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont ses coefficients et où a est non nul.

📖 3. Sommet et variations de la parabole

★ À maîtriser

📐 Formule - Tout trinôme admet une écriture unique sous forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, où α et β sont réels.

📐 Formule - Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, l’abscisse du sommet est $\alpha=-\frac{b}{2a}$.

• La parabole représentant un trinôme a pour axe de symétrie la droite d’équation x = α et pour sommet le point de coordonnées (α ; β).

📌 Si a > 0, le trinôme décroît jusqu’à α puis croît à partir de α ; si a < 0, il croît jusqu’à α puis décroît à partir de α.

Compléments

• Pour le bénéfice modélisé par $f(x)=-2x^2+90x-400$ sur [15 ; 30], x représente des centaines de panneaux et f(x) des centaines d’euros.

💡 Astuce mémo

Le sommet est le point où la parabole change de sens, sur son axe vertical de symétrie.

📖 4. Racines et factorisation du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine : Réel x tel que f(x)=0 ; elle correspond à l’abscisse d’un point d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si x₁ et x₂ sont les racines d’un trinôme, sa forme factorisée est $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

📌 Un trinôme possède deux racines distinctes si x₁ ≠ x₂, une racine double si x₁ = x₂, et aucune racine réelle si aucune solution réelle à f(x)=0 n’existe.

📐 Formule - Si un trinôme a deux racines x₁ et x₂, leur somme et leur produit vérifient $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $x_1x_2=\frac{c}{a}$.

Compléments

📐 Formule - Lorsque le trinôme possède deux racines x₁ et x₂, l’abscisse du sommet vérifie $\alpha=\frac{x_1+x_2}{2}$.

📖 5. Signe sous forme factorisée

📝 Points essentiels

📌 Pour $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec x₁ < x₂, f est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe contraire de a entre les racines.

💡 Astuce mémo

À l’extérieur des racines, le signe suit a ; à l’intérieur, il est contraire à a.

📖 6. Complétion du carré et forme canonique

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Le discriminant du trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ est le réel $\Delta=b^2-4ac$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La forme canonique de $f(x)=ax^2+bx+c$ est $f(x)=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right]$, soit $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$.

Compléments

📐 Formule - Pour tous réels x et k, $x^2+2kx=(x+k)^2-k^2$.

• Pour résoudre $x^2+ax=b$ avec a et b positifs par l’algorithme d’Al-Khwarizmi, on prend la moitié de a, on la met au carré, on ajoute ce carré à b, on en prend la racine carrée, puis on retranche la moitié de a.

💡 Astuce mémo

Compléter le carré : prendre la moitié du coefficient, la mettre au carré, puis compenser.

📖 7. Discriminant et résolution générale

★ À maîtriser

📌 Pour $ax^2+bx+c=0$, si Δ < 0, il n’existe aucune racine réelle et le trinôme ne se factorise pas dans ℝ.

📐 Formule - Si Δ = 0, l’équation $ax^2+bx+c=0$ possède une racine double $x_0=-\frac{b}{2a}$ et $f(x)=a(x-x_0)^2$.

📐 Formule - Si Δ > 0, l’équation $ax^2+bx+c=0$ possède deux racines réelles distinctes $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$, et $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Compléments

• Pour résoudre une équation du second degré, on calcule Δ = b² − 4ac, on détermine le nombre de racines selon son signe, puis on applique la formule correspondante.

💡 Astuce mémo

Δ < 0 : aucune racine réelle ; Δ = 0 : une racine double ; Δ > 0 : deux racines distinctes.

📖 8. Signe selon le discriminant

★ À maîtriser

📌 Si Δ = 0, f est du signe de a sur ℝ et s’annule uniquement en sa racine double x₀.

📌 Si Δ < 0, f garde sur ℝ le signe de son coefficient a.

Compléments

• Dans le tableau synoptique, lorsque a > 0, la parabole est tournée vers le haut ; lorsque a < 0, elle est tournée vers le bas.

📊 Tableaux de synthèse

Discriminant, racines et factorisation