QCM : Fonctions polynômes du second degré (21 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle contribution est associée à Al-Khwarizmi dans l’histoire de l’algèbre ?

Il a conçu une méthode géométrique de résolution des équations du second degré fondée sur des tablettes d’argile.
Il a formulé le théorème de Pythagore et établi les premières méthodes d’extraction des racines carrées.
Il a introduit les nombres négatifs dans un système de numération en base soixante utilisé pour résoudre les équations.
Il a écrit un ouvrage fondant l’algèbre et la résolution des équations du second degré à l’aide d’une numération décimale positionnelle inspirée des Indiens.

Il a écrit un ouvrage fondant l’algèbre et la résolution des équations du second degré à l’aide d’une numération décimale positionnelle inspirée des Indiens.

Explication

Au neuvième siècle, Al-Khwarizmi a écrit un ouvrage qui posait les fondements de l’algèbre et de la résolution des équations du second degré, en s’appuyant sur une numération décimale positionnelle inspirée des Indiens. Le théorème de Pythagore et l’extraction des racines carrées sont ici associés aux connaissances babyloniennes.

2. Quelle égalité les Babyloniens pouvaient-ils utiliser pour multiplier deux nombres aa et bb ?

ab=(a+b2)2+(a−b2)2ab=\left(\frac{a+b}{2}\right)^2+\left(\frac{a-b}{2}\right)^2
ab=(a+b2)(a−b2)ab=\left(\frac{a+b}{2}\right)\left(\frac{a-b}{2}\right)
ab=(a+b2)2−(a2−b)2ab=\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-\left(\frac{a}{2}-b\right)^2
ab=(a+b2)2−(a−b2)2ab=\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2

$$ab=\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2$$

Explication

La différence des carrés de la demi-somme et de la demi-différence donne bien le produit abab. Avec une addition des deux carrés, on n’obtient pas cette identité de multiplication.

3. Quelle condition caractérise une fonction polynôme du second degré écrite sous la forme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c ?

Les trois coefficients sont réels, et aa peut être nul si bb est non nul.
Les coefficients aa et bb sont réels, et cc est non nul.
Le coefficient aa est positif, tandis que bb et cc sont des réels quelconques.
Les coefficients bb et cc sont réels, et aa est réel et non nul.

Les coefficients $$b$$ et $$c$$ sont réels, et $$a$$ est réel et non nul.

Explication

Un trinôme est défini par f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c, avec a≠0a\ne 0 et des coefficients réels. Autoriser a=0a=0 supprimerait le terme de degré deux et ne respecterait donc pas cette définition.

4. Comment appelle-t-on la courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré ?

Une hyperbole.
Une circonférence.
Une droite affine.
Une parabole.

Une parabole.

Explication

La courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré est une parabole. Une droite affine représente une fonction du premier degré, et non un trinôme.

5. Quelle propriété distingue la forme canonique d’un trinôme ?

Tout trinôme possède une écriture unique f(x)=a(x−α)2+βxf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta x, avec α\alpha et β\beta réels.
Tout trinôme possède une écriture unique f(x)=a(x+α)2+βf(x)=a(x+\alpha)^2+\beta, avec α\alpha et β\beta réels.
Tout trinôme possède une écriture unique f(x)=a(x−α)+βf(x)=a(x-\alpha)+\beta, avec α\alpha et β\beta réels.
Tout trinôme possède une écriture unique f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta, avec α\alpha et β\beta réels.

Tout trinôme possède une écriture unique $$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$$, avec $$\alpha$$ et $$\beta$$ réels.

Explication

La forme canonique est a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta et elle est unique pour tout trinôme. Une expression où le terme carré est remplacé par un terme linéaire n’a pas la forme canonique d’un trinôme du second degré.

6. Pour f(x)=3x2−12x+5f(x)=3x^2-12x+5, quelle est l’abscisse du sommet de la parabole ?

−4-4
−2-2
44
22

$$2$$

Explication

L’abscisse du sommet vaut α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a} ; ici, a=3a=3 et b=−12b=-12, donc α=2\alpha=2. La valeur −2-2 résulte d’une erreur de signe dans l’application de la formule.

7. Si un trinôme s’écrit f(x)=a(x−3)2+2f(x)=a(x-3)^2+2, quelles sont l’axe de symétrie et les coordonnées de son sommet ?

L’axe est x=3x=3 et le sommet est (3;2)(3;2).
L’axe est x=−3x=-3 et le sommet est (−3;2)(-3;2).
L’axe est y=3y=3 et le sommet est (3;2)(3;2).
L’axe est x=2x=2 et le sommet est (2;3)(2;3).

L’axe est $$x=3$$ et le sommet est $$(3;2)$$.

Explication

Dans la forme canonique, les paramètres sont α=3\alpha=3 et β=2\beta=2 : l’axe est donc x=3x=3 et le sommet a pour coordonnées (3;2)(3;2). Intervertir les paramètres confond l’abscisse du sommet avec son ordonnée.

8. Une parabole a une forme canonique avec a<0a<0 et une abscisse de sommet α\alpha. Comment varie la fonction autour de ce sommet ?

Elle décroît jusqu’à α\alpha, puis croît à partir de α\alpha.
Elle décroît de part et d’autre de α\alpha, sans changer de sens.
Elle croît de part et d’autre de α\alpha, sans changer de sens.
Elle croît jusqu’à α\alpha, puis décroît à partir de α\alpha.

Elle croît jusqu’à $$\alpha$$, puis décroît à partir de $$\alpha$$.

Explication

Lorsque a<0a<0, le trinôme croît jusqu’à l’abscisse α\alpha du sommet, puis décroît. Le sens inverse correspond au cas a>0a>0, où le sommet est un minimum.

9. Que représente une racine réelle d’un trinôme sur le graphique de sa fonction ?

L’abscisse du sommet de la parabole
L’ordonnée d’un point où la parabole coupe l’axe des abscisses
L’abscisse d’un point où la parabole coupe ou touche l’axe des abscisses
L’ordonnée du sommet de la parabole

L’abscisse d’un point où la parabole coupe ou touche l’axe des abscisses

Explication

Une racine est une valeur de x pour laquelle la fonction vaut zéro, ce qui correspond à un point de la parabole situé sur l’axe des abscisses. L’ordonnée du sommet est une autre caractéristique graphique et n’est pas nécessairement nulle.

10. Un trinôme de coefficient dominant a et de racines x₁ et x₂ s’écrit sous forme factorisée comme quelle expression ?

f(x)=(x−x1)(x−x2)+af(x)=(x-x_1)(x-x_2)+a
f(x)=a(x−x1+x2)f(x)=a(x-x_1+x_2)
f(x)=a(x+x1)(x+x2)f(x)=a(x+x_1)(x+x_2)
f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$

Explication

Chaque racine donne un facteur qui s’annule en cette valeur, et le coefficient dominant a est conservé devant le produit. Remplacer les facteurs par x+x1x+x_1 et x+x2x+x_2 décalerait leurs zéros vers les opposés des racines.

11. Une équation du second degré admet une racine réelle x₀ répétée deux fois ; comment caractérise-t-on les racines du trinôme ?

Il ne possède aucune racine réelle puisque x₀ est répétée
Il possède une racine double, donc une seule racine réelle distincte
Il possède deux racines distinctes, opposées l’une à l’autre
Il possède deux racines distinctes, toutes deux égales à x₀

Il possède une racine double, donc une seule racine réelle distincte

Explication

Une racine double signifie que la même valeur réelle apparaît deux fois, mais qu’il n’existe qu’une seule racine réelle distincte. Deux racines distinctes supposeraient deux valeurs différentes, et non deux occurrences de x₀.

12. Pour un trinôme ax2+bx+cax^2+bx+c ayant deux racines x₁ et x₂, quelle relation donne leur produit ?

x1x2=cax_1x_2=\frac{c}{a}
x1x2=bax_1x_2=\frac{b}{a}
x1x2=−cax_1x_2=-\frac{c}{a}
x1x2=−bax_1x_2=-\frac{b}{a}

$$x_1x_2=\frac{c}{a}$$

Explication

Le produit des deux racines est égal au quotient du terme constant par le coefficient dominant. Le quotient −ba-\frac{b}{a} correspond à leur somme, et non à leur produit.

13. Pour f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x)=a(x-x_1)(x-x_2) avec x1<x2x_1<x_2 et a>0a>0, quel est le signe de f entre les deux racines ?

Il est positif à l’extérieur des racines et nul entre elles.
Il est positif entre x₁ et x₂.
Il est négatif entre x₁ et x₂.
Il est nul en tout point entre x₁ et x₂.

Il est négatif entre x₁ et x₂.

Explication

Entre les racines, les deux facteurs ont des signes opposés, donc leur produit est négatif lorsqu'a est positif. À l’extérieur des racines, les facteurs ont le même signe et le trinôme est positif.

14. Une parabole factorisée a pour racines x1<x2x_1<x_2 et un coefficient dominant négatif ; quel est le signe du trinôme lorsque x est extérieur à l’intervalle [x1,x2][x_1,x_2] ?

Il est nul sur toute la partie extérieure à l’intervalle.
Il est négatif, comme le coefficient dominant.
Il est positif, contrairement au coefficient dominant.
Son signe est négatif à gauche et positif à droite.

Il est négatif, comme le coefficient dominant.

Explication

À l’extérieur des deux racines, le trinôme a le signe de son coefficient dominant, donc il est négatif dans ce cas. Le signe s’inverse entre les racines, et non d’un côté à l’autre à l’extérieur.

15. Quelle expression définit le discriminant du trinôme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c ?

Δ=2b−4ac\Delta=2b-4ac
Δ=b2+4ac\Delta=b^2+4ac
Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac
Δ=4ac−b2\Delta=4ac-b^2

$$\Delta=b^2-4ac$$

Explication

Le discriminant est calculé en soustrayant 4ac4ac au carré du coefficient b. L’expression b2+4acb^2+4ac change le signe du terme en ac et ne donne donc pas le discriminant.

16. Pour mettre f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c sous forme canonique, quelle est l’abscisse α du sommet ?

α=b2a\alpha=\frac{b}{2a}
α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a}
α=−ba\alpha=-\frac{b}{a}
α=ba\alpha=\frac{b}{a}

$$\alpha=-\frac{b}{2a}$$

Explication

Dans la forme canonique a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta, l’abscisse du sommet est −b2a-\frac{b}{2a}. L’expression −ba-\frac{b}{a} correspond à la somme des racines lorsque le trinôme en possède deux, pas à l’abscisse du sommet.

17. Pour une équation du second degré dont le discriminant est négatif, quelle conclusion s’applique à ses solutions dans ℝ ?

Elle possède une racine réelle double et le trinôme est un carré parfait dans ℝ.
Elle possède deux racines réelles distinctes et le trinôme se factorise en deux facteurs linéaires dans ℝ.
Elle possède une racine réelle et une racine complexe non réelle, et le trinôme se factorise dans ℝ.
Elle n’a aucune racine réelle et le trinôme ne se factorise pas dans ℝ.

Elle n’a aucune racine réelle et le trinôme ne se factorise pas dans ℝ.

Explication

Un discriminant négatif signifie que l’équation n’a pas de racine réelle et que le trinôme ne se factorise pas dans ℝ. Une racine double correspond au cas où le discriminant est nul, et non négatif.

18. Pour f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec Δ=0\Delta=0, quelle expression donne la racine double et la forme factorisée de ff ?

x0=−b2ax_0=-\frac{b}{2a} et f(x)=a(x−x0)(x+x0)f(x)=a(x-x_0)(x+x_0)
x0=b2ax_0=\frac{b}{2a} et f(x)=a(x+x0)2f(x)=a(x+x_0)^2
x0=−cbx_0=-\frac{c}{b} et f(x)=a(x−x0)2f(x)=a(x-x_0)^2
x0=−b2ax_0=-\frac{b}{2a} et f(x)=a(x−x0)2f(x)=a(x-x_0)^2

$$x_0=-\frac{b}{2a}$$ et $$f(x)=a(x-x_0)^2$$

Explication

Lorsque le discriminant est nul, l’équation a pour racine double x0=−b2ax_0=-\frac{b}{2a} et le trinôme s’écrit comme un carré multiplié par aa. L’expression avec deux facteurs distincts ne représente pas cette racine double.

19. Pour f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec Δ>0\Delta>0, quelle caractérisation des racines et de la factorisation est correcte ?

Il existe deux racines réelles distinctes x1=−b+Δ2ax_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} et x2=−b+Δ2ax_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}, et f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x)=a(x-x_1)(x-x_2).
Il existe deux racines réelles distinctes x1=−b−Δ2ax_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x2=−b+Δ2ax_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}, et f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x)=a(x-x_1)(x-x_2).
Il n’existe aucune racine réelle, et le trinôme ne se factorise pas dans ℝ.
Il existe une racine réelle double x0=−b2ax_0=-\frac{b}{2a}, et f(x)=a(x−x0)2f(x)=a(x-x_0)^2.

Il existe deux racines réelles distinctes $$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$ et $$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$, et $$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$.

Explication

Un discriminant positif donne deux racines réelles distinctes, obtenues avec les deux signes devant Δ\sqrt{\Delta}, puis la factorisation correspondante. La formule avec le même signe pour les deux racines ne produit pas les deux solutions distinctes.

20. Lorsque Δ=0\Delta=0, que peut-on dire du signe de ff et de son annulation sur ℝ ?

ff garde le signe opposé à aa sur ℝ et ne s’annule pas.
ff change de signe en x0x_0 et s’annule en deux racines réelles distinctes.
ff est du signe de aa sur ℝ et ne s’annule en aucun réel.
ff est du signe de aa sur ℝ et s’annule en sa racine double x0x_0.

$$f$$ est du signe de $$a$$ sur ℝ et s’annule en sa racine double $$x_0$$.

Explication

Quand le discriminant est nul, le trinôme garde le signe de son coefficient aa et s’annule à sa racine double. L’absence d’annulation correspond au cas où le discriminant est négatif.

21. Si le discriminant d’un trinôme est négatif et que son coefficient aa est négatif, quel est le signe du trinôme sur ℝ ?

Il est positif sur ℝ, contrairement à son coefficient aa.
Il s’annule en un réel et garde un signe constant ailleurs.
Il est négatif sur ℝ, comme son coefficient aa.
Il s’annule en deux réels et change de signe entre eux.

Il est négatif sur ℝ, comme son coefficient $$a$$.

Explication

Avec un discriminant négatif, le trinôme conserve sur ℝ le signe de son coefficient aa ; ici, il est donc négatif. Deux annulations réelles impliqueraient un discriminant positif.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 48 flashcards sur Fonctions polynômes du second degré.

Comment définit-on une fonction polynôme du second degré sur ℝ ?

f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c, avec a≠0a\ne 0 et b,c∈Rb,c\in\mathbb{R}.

Quel autre nom désigne une fonction polynôme du second degré ?

Une fonction trinôme.

Comment s’appelle la courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré ?

Une parabole.

Voir les flashcards →

Approfondir avec la fiche

Consultez la fiche de révision complète sur Fonctions polynômes du second degré.

Voir la fiche →

Cours similaires

Chimie et physique générale

Physique

Système nerveux et mouvements

SVT

Symétrie centrale

Mathématiques

Structure et fonction du noyau

SVT

Complexification des génomes

SVT

Communication du système nerveux

SVT

Crée tes propres QCM

Importe ton cours et l'IA génère des QCM avec corrections en 30 secondes.

Générateur de QCM