QCM : Fonctions polynômes du second degré — 6 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition distingue une fonction polynôme de degré deux d’une fonction affine ?

Le terme constant doit être strictement positif.
Le polynôme doit admettre deux racines réelles.
Le coefficient de xx doit être égal à zéro.
Le coefficient de x2x^2 doit être non nul.

Le coefficient de $$x^2$$ doit être non nul.

Explication

Une fonction de degré deux s’écrit f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a≠0a\ne 0, car ce coefficient détermine le degré du polynôme. Une fonction affine possède au contraire un coefficient de x2x^2 nul, mais le terme constant n’a pas besoin d’être positif.

2. Pourquoi la fonction h(x)=2x2−x(2x+3)h(x)=2x^2-x(2x+3) n’est-elle pas de degré deux après simplification ?

Parce que son coefficient de x2x^2 devient égal à deux.
Parce qu’elle se réduit à la fonction affine h(x)=−3xh(x)=-3x.
Parce qu’elle ne peut être définie que sur les nombres positifs.
Parce que son terme constant devient égal à zéro.

Parce qu’elle se réduit à la fonction affine $$h(x)=-3x$$.

Explication

En développant, on obtient h(x)=2x2−(2x2+3x)=−3xh(x)=2x^2-(2x^2+3x)=-3x : les termes en x2x^2 s’annulent. La fonction obtenue est donc affine, et non polynôme de degré deux.

3. Dans la forme canonique f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta d’un polynôme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c, quelles sont les expressions de α\alpha et β\beta ?

α=b2a\alpha=\frac{b}{2a} et β=b2−4ac4a\beta=\frac{b^2-4ac}{4a}
α=−b2c\alpha=-\frac{b}{2c} et β=−b2−4ac4c\beta=\frac{-b^2-4ac}{4c}
α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a} et β=−b2−4ac4a\beta=\frac{-b^2-4ac}{4a}
α=−c2a\alpha=-\frac{c}{2a} et β=−b2+4ac4a\beta=\frac{-b^2+4ac}{4a}

$$\alpha=-\frac{b}{2a}$$ et $$\beta=\frac{-b^2-4ac}{4a}$$

Explication

La mise sous forme canonique donne α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a} et β=−b2−4ac4a\beta=\frac{-b^2-4ac}{4a}. Les coefficients bb et cc appartiennent à la forme développée, tandis que α\alpha et β\beta caractérisent la forme canonique.

4. Quelle est la forme canonique de la fonction f(x)=2x2−3x+7f(x)=2x^2-3x+7 ?

2(x−34)2+4782\left(x-\frac{3}{4}\right)^2+\frac{47}{8}
2(x+34)2+3582\left(x+\frac{3}{4}\right)^2+\frac{35}{8}
2(x−34)2+3582\left(x-\frac{3}{4}\right)^2+\frac{35}{8}
2(x+34)2+4782\left(x+\frac{3}{4}\right)^2+\frac{47}{8}

$$2\left(x-\frac{3}{4}\right)^2+\frac{47}{8}$$

Explication

Ici, α=−−32×2=34\alpha=-\frac{-3}{2\times2}=\frac{3}{4} et β=f(α)=478\beta=f(\alpha)=\frac{47}{8}, d’où la forme indiquée. Les coefficients b=−3b=-3 et c=7c=7 ne sont pas directement les valeurs de α\alpha et β\beta.

5. Pour une fonction sous forme canonique f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta avec a<0a<0, comment évolue-t-elle autour de α\alpha ?

Elle décroît avant et après α\alpha, et β\beta est un maximum.
Elle décroît jusqu’à α\alpha, puis croît, et β\beta est un minimum.
Elle croît avant et après α\alpha, et β\beta est un minimum.
Elle croît jusqu’à α\alpha, puis décroît, et β\beta est un maximum.

Elle croît jusqu’à $$\alpha$$, puis décroît, et $$\beta$$ est un maximum.

Explication

Lorsque a<0a<0, la multiplication par aa inverse le sens de variation du carré : la fonction est croissante sur ]−∞;α]]-\infty;\alpha] puis décroissante sur [α;+∞[[\alpha;+\infty[. La valeur β=f(α)\beta=f(\alpha) est donc un maximum, et non un minimum.

6. Une parabole est associée à une fonction f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta avec a>0a>0. Quelle conclusion est correcte ?

La fonction décroît avant et après α\alpha, avec un maximum égal à β\beta.
La fonction croît avant et après α\alpha, avec un minimum égal à α\alpha.
La fonction croît jusqu’à α\alpha, puis décroît, avec un maximum égal à β\beta.
La fonction décroît jusqu’à α\alpha, puis croît, avec un minimum égal à β\beta.

La fonction décroît jusqu’à $$\alpha$$, puis croît, avec un minimum égal à $$\beta$$.

Explication

Pour a>0a>0, le carré conserve son sens de variation après multiplication : la fonction décroît jusqu’à α\alpha puis croît à partir de cette valeur. Le sommet a alors pour ordonnée β=f(α)\beta=f(\alpha), qui est un minimum.

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Qu'est-ce qu'une fonction polynôme de degré 2 ?

C'est une fonction ff définie sur R\mathbb{R} telle que f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a≠0a\neq 0.

Quels sont les coefficients de la fonction f(x)=−x2+2x+3f(x)=-x^2+2x+3 ?

a=−1a=-1, b=2b=2 et c=3c=3.

Pourquoi la fonction h(x)=2x2−x(2x+3)h(x)=2x^2 - x(2x+3) n'est-elle pas un polynôme de degré 2 ?

Parce qu'elle se simplifie en h(x)=−3xh(x)=-3x, un polynôme de degré 1.

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