Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition du degré deux
2. Forme canonique et sommet
3. Variations selon le coefficient

📖 1. Définition du degré deux

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme de degré 2 : Fonction f définie sur ℝ qui s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\in\mathbb{R}^*$, $b\in\mathbb{R}$ et $c\in\mathbb{R}$.

★ À maîtriser

📌 La fonction $h(x)=2x^2-x(2x+3)$ se simplifie en $h(x)=-3x$ et n’est donc pas un polynôme de degré 2.

Compléments

• La fonction $f(x)=-x^2+2x+3$ est un polynôme de degré 2 avec $a=-1$, $b=2$ et $c=3$.

📖 2. Forme canonique et sommet

★ À maîtriser

📐 Formule — Toute fonction polynôme de degré 2 $f(x)=ax^2+bx+c$ peut s’écrire sous la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=\frac{-b^2-4ac}{4a}$.

Compléments

• Pour $f(x)=2x^2-3x+7$, on obtient $\alpha=\frac{3}{4}$ et $\beta=f(\alpha)=\frac{47}{8}$, donc $f(x)=2\left(x-\frac{3}{4}\right)^2+\frac{47}{8}$.

💡 Astuce mémo

La parabole se recentre autour de α et atteint β.

📖 3. Variations selon le coefficient

★ À maîtriser

📌 Si $a<0$, la fonction est croissante sur $]-\infty;\alpha]$ puis décroissante sur $[\alpha;+\infty[$, et β = f(α) est un maximum.

📌 Si $a>0$, la fonction est décroissante sur $]-\infty;\alpha]$ puis croissante sur $[\alpha;+\infty[$, et β = f(α) est un minimum.

Compléments

• Pour démontrer la décroissance sur $[\alpha;+\infty[$ lorsque $a<0$, on prend $\alpha\le x_1<x_2$, puis on utilise la croissance du carré pour obtenir $(x_1-\alpha)^2<(x_2-\alpha)^2$ et, après multiplication par a puis ajout de β, $f(x_1)>f(x_2)$.

💡 Astuce mémo

a > 0 : minimum en β ; a < 0 : maximum en β.

📊 Tableaux de synthèse

Variations selon le signe de a