Fiche de révision : Fonctions polynomiales du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et identification
2. Forme canonique et sommet
3. Variations et représentation graphique
4. Racines et signe du trinôme

📖 1. Définition et identification

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction du second degré : Fonction définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont des réels et où a est non nul.

📝 Points essentiels

• La fonction $f(x)=5x-3$ n'est pas une fonction polynomiale du second degré, mais une fonction affine.

• Pour $f(x)=4-x^2$, l'écriture développée est $f(x)=-x^2+0x+4$, donc $a=-1$, $b=0$ et $c=4$.

💡 Astuce mémo

Second degré : terme en x² présent, fonction affine : terme en x² absent

📖 2. Forme canonique et sommet

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Toute fonction du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$ peut s'écrire sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

★ À maîtriser

• Pour obtenir la forme canonique, on identifie d'abord a, b et c, puis on calcule $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$, avant de remplacer α et β dans $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.

Compléments

• Pour $f(x)=4x^2+16x+49$, on obtient $\alpha=-2$ et $\beta=3$, donc $f(x)=4(x+2)^2+3$.

💡 Astuce mémo

Coefficients → α → β → forme canonique

📖 3. Variations et représentation graphique

★ À maîtriser

📌 Si $a>0$, la parabole est dirigée vers le haut, la fonction admet un minimum en $x=\alpha$ égal à β, et elle est décroissante puis croissante.

• La représentation graphique d'une fonction polynomiale du second degré est une parabole dont le sommet est le point $S(\alpha;\beta)$.

Compléments

• L'axe de symétrie de la parabole est la droite verticale d'équation $x=\alpha$ passant par le sommet.

💡 Astuce mémo

Signe de a → orientation de la parabole → nature de l’extrémum

📖 4. Racines et signe du trinôme

★ À maîtriser

• Lorsque le discriminant vérifie Δ=0, la fonction possède une unique racine x₀ et s'annule en x₀.

• Lorsque le discriminant vérifie Δ>0, la fonction possède deux racines x₁ et x₂ et s'annule en x₁ et en x₂.

• Lorsque Δ>0, la fonction est du signe de a à l'extérieur des racines x₁ et x₂ et du signe opposé à a à l'intérieur des racines.

Compléments

📌 Lorsque Δ=0, le signe de la fonction est celui de a de part et d'autre de l'unique racine x₀.

💡 Astuce mémo

Δ = 0 : une racine ; Δ > 0 : deux racines

📊 Tableaux de synthèse

Signe de la fonction selon le discriminant