QCM : Fonctions polynomiales du second degré — 8 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition caractérise une fonction du second degré définie sur R\mathbb{R} ?

Elle s’écrit f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a≠0a\neq 0.
Elle s’écrit f(x)=ax+bf(x)=ax+b avec a≠0a\neq 0.
Elle s’écrit f(x)=ax+bf(x)=\frac{a}{x}+b avec a≠0a\neq 0.
Elle s’écrit f(x)=ax3+bx2+cf(x)=ax^3+bx^2+c avec a≠0a\neq 0.

Elle s’écrit $$f(x)=ax^2+bx+c$$ avec $$a\neq 0$$.

Explication

Une fonction du second degré comporte un terme en x2x^2 et s’écrit avec un coefficient aa non nul. L’expression ax+bax+b décrit une fonction affine, qui ne possède pas de terme en x2x^2.

2. Pour la fonction f(x)=4−x2f(x)=4-x^2, quelles sont les valeurs des coefficients dans l’écriture développée f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c ?

a=1a=1, b=0b=0 et c=−4c=-4
a=−1a=-1, b=4b=4 et c=0c=0
a=4a=4, b=0b=0 et c=−1c=-1
a=−1a=-1, b=0b=0 et c=4c=4

$$a=-1$$, $$b=0$$ et $$c=4$$

Explication

En réordonnant les termes, on obtient f(x)=−x2+0x+4f(x)=-x^2+0x+4, d’où a=−1a=-1, b=0b=0 et c=4c=4. Le nombre constant est donc 44, tandis que le coefficient de x2x^2 est −1-1.

3. Quelle est la forme canonique d’une fonction du second degré et comment détermine-t-on ses paramètres ?

f(x)=a(x−β)2+αf(x)=a(x-\beta)^2+\alpha, avec β=−b2a\beta=-\frac{b}{2a} et α=f(β)\alpha=f(\beta)
f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta, avec α=−c2a\alpha=-\frac{c}{2a} et β=f(α)\beta=f(\alpha)
f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta, avec α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a} et β=f(α)\beta=f(\alpha)
f(x)=a(x+α)2−βf(x)=a(x+\alpha)^2-\beta, avec α=b2a\alpha=\frac{b}{2a} et β=f(α)\beta=f(\alpha)

$$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$$, avec $$\alpha=-\frac{b}{2a}$$ et $$\beta=f(\alpha)$$

Explication

La forme canonique est a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta, où α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a} et β=f(α)\beta=f(\alpha). L’échange entre α\alpha et β\beta confond les paramètres de la forme canonique avec ceux de l’écriture développée.

4. Quelle forme canonique obtient-on pour f(x)=4x2+16x+49f(x)=4x^2+16x+49 ?

f(x)=4(x−4)2+3f(x)=4(x-4)^2+3
f(x)=4(x−2)2+3f(x)=4(x-2)^2+3
f(x)=4(x+2)2+3f(x)=4(x+2)^2+3
f(x)=4(x+2)2+49f(x)=4(x+2)^2+49

$$f(x)=4(x+2)^2+3$$

Explication

Ici, le calcul donne α=−2\alpha=-2 et β=3\beta=3, donc la forme canonique est 4(x−(−2))2+3=4(x+2)2+34(x-(-2))^2+3=4(x+2)^2+3. Le signe dans la parenthèse doit donc être cohérent avec α=−2\alpha=-2.

5. Quelle est la définition d'une fonction du second degré ?

Une fonction qui ne possède pas de terme en x2x^2 mais peut contenir des termes en xx et une constante.
Une fonction définie sur ℝ par f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c, où a, b et c sont des réels et a est non nul.
Une fonction définie uniquement par une expression linéaire f(x)=mx+nf(x)=mx+n.
Une fonction qui ne comporte pas de terme en x2x^2 et est de degré 1.

Une fonction définie sur ℝ par $$f(x)=ax^2+bx+c$$, où a, b et c sont des réels et a est non nul.

Explication

Une fonction du second degré est précisément une fonction polynomiale de degré 2, caractérisée par la présence du terme ax2ax^2 avec a≠0a \neq 0. La réponse incorrecte évoque une fonction affine, qui est de degré 1, sans terme en x2x^2.

6. Quelle est la forme générale d'une fonction du second degré ?

f(x) = a(x - )^2 + 3
f(x) = ax + b
f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}
f(x) = ax^2 + bx + c

f(x) = ax^2 + bx + c

Explication

La forme générale d'une fonction du second degré est f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c, où a≠0a \neq 0. La fonction affine f(x)=ax+bf(x) = ax + b n'est pas du second degré, et les autres options représentent des formes différentes ou spécifiques.

7. Quel est le rôle principal de la représentation graphique d'une fonction du second degré ?

Elle permet de visualiser la forme de la parabole, notamment son sommet et son orientation.
Elle indique directement les coefficients a, b et c de la fonction.
Elle sert uniquement à vérifier si la fonction est polynomiale ou non.
Elle montre uniquement les racines sans donner d'informations sur le sommet ou la concavité.

Elle permet de visualiser la forme de la parabole, notamment son sommet et son orientation.

Explication

La représentation graphique d'une fonction du second degré permet de visualiser la parabole, notamment son sommet et son orientation, ce qui est essentiel pour comprendre ses variations. Les autres options sont incorrectes car elles ne reflètent pas le rôle principal de cette représentation.

8. En quoi la notion de racines d'un trinôme diffère-t-elle de celle de son signe ?

Les racines sont liées à la forme canonique, alors que le signe dépend du discriminant.
Les racines sont toujours deux, alors que le signe peut varier selon le coefficient a.
Les racines déterminent la direction de la parabole, alors que le signe indique la position du sommet.
Les racines correspondent aux points où la fonction s'annule, tandis que le signe indique si la fonction est positive ou négative entre ces points.

Les racines correspondent aux points où la fonction s'annule, tandis que le signe indique si la fonction est positive ou négative entre ces points.

Explication

Les racines d'un trinôme sont les valeurs de x où la fonction s'annule, c'est-à-dire où elle coupe l'axe des x. Le signe de la fonction indique si elle est positive ou négative dans différentes régions, ce qui dépend du discriminant et du coefficient a.

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Qu'est-ce qu'une fonction du second degré ?

Une fonction définie sur ℝ par f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a≠0a \neq 0.

Pourquoi f(x)=5x−3f(x)=5x-3 n'est-elle pas une fonction du second degré ?

Parce que c'est une fonction affine, pas un polynôme du second degré.

Quelle est la forme canonique d'une fonction du second degré ?

f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta avec α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a} et β=f(α)\beta=f(\alpha).

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