QCM : Fonctions quadratiques : étude et résolution — 8 questions

Explication

Une fonction polynôme du second degré est précisément définie par 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 avec 𝑎 non nul, ce qui garantit la présence du terme de degré 2. À revoir : Définition et exemples de fonctions polynômes du second degré. Appui du cours : « Une fonction polynôme du second degré est définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 avec 𝑎 ≠ 0. »

Explication

La forme canonique f(x) = a(x − α)² + β met en évidence le sommet (α, β) de la parabole, ce qui facilite l'étude des variations et extremums, contrairement à la forme développée ax² + bx + c qui ne le fait pas explicitement. À revoir : Forme canonique d'une fonction polynôme du second degré et méthode de transformation. Appui du cours : « Toute fonction polynôme du second degré f(x) = ax² + bx + c peut s'écrire sous la forme canonique f(x) = a(x − α)² + β avec α = −b/(2a) et β = f(α). La forme canonique met en évidence le sommet de la parabole et facilite l'étude des variations et extremums. »

Explication

Le sommet est précisément défini par ses coordonnées (α ; β) avec α = −b/(2a) et β = f(α), et il correspond à l'extrémum de la fonction polynôme du second degré, comme indiqué dans la source. À revoir : Variations, extremum et sommet de la parabole associée à une fonction polynôme du second degré. Appui du cours : « - Sommet de la parabole : Le point de coordonnées (α ; β) où α = −b/(2a) et β = f(α), représentant l'extrémum de la fonction polynôme du second degré. »

Explication

L'axe de symétrie d'équation x = α permet de déterminer le sommet de la parabole et facilite le tracé de la courbe par symétrie, selon la propriété explicitée dans le texte. À revoir : Représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré et axe de symétrie. Appui du cours : « La parabole représentant une fonction polynôme du second degré possède un axe de symétrie vertical d'équation x = α, ce qui permet de déterminer le sommet et facilite le tracé de la courbe par symétrie. »

Explication

Le texte indique que le discriminant Δ sert à déterminer précisément le nombre et la nature des solutions d'une équation du second degré, ce qui correspond à la première option. Les autres propositions ne sont pas mentionnées comme fonctions du discriminant. À revoir : Résolution d'équations du second degré selon le discriminant. Appui du cours : « Le discriminant Δ permet d'utiliser la valeur de Δ pour déterminer précisément le nombre et la nature des solutions d'une équation du second degré. »

Explication

Les formules de somme et produit des racines permettent, lorsqu'on connaît une racine, de déterminer l'autre racine d'un polynôme du second degré, comme indiqué dans le passage : « Connaître une racine permet de déterminer l'autre en utilisant les formules de somme et produit. » À revoir : Utilisation des formules de somme et produit des racines d'un polynôme du second degré. Appui du cours : « - Connaître une racine permet de déterminer l'autre en utilisant les formules de somme et produit. »

Explication

Le texte précise que si Δ < 0, il n'y a pas de factorisation en réels et le signe du trinôme est constant. Sinon, le trinôme se factorise et son signe change aux racines. À revoir : Factorisation d'un trinôme du second degré et détermination du signe d'un polynôme. Appui du cours : « - Si Δ < 0, le trinôme n'a pas de factorisation en réels. - Le signe du trinôme dépend du signe de a et des racines : il est constant si Δ < 0, change de signe aux racines sinon. »

Explication

L'inéquation du second degré est définie comme une inégalité impliquant un polynôme de degré deux, et sa résolution consiste précisément à étudier le signe du trinôme associé, selon la définition donnée. À revoir : Résolution d'inéquations du second degré et étude de la position relative de deux courbes polynomiales. Appui du cours : « - **Inéquation du second degré** : Inégalité impliquant un polynôme de degré deux dont la résolution consiste à étudier le signe du trinôme associé. »