Fiche de révision : Fonctions réciproques et dérivées

📋 Plan du Cours

1. Injectivité surjectivité et bijectivité
2. Relation réciproque et fonction inverse
3. Réciproques des fonctions usuelles
4. Dérivée d’une fonction réciproque
5. Dérivées des fonctions cyclométriques
6. Théorème de l’Hôpital

📖 1. Injectivité surjectivité et bijectivité

🔑 Notions clés & Définitions

• Injectivité : Application de E dans F telle que, pour tous x et y de E, x ≠ y entraîne f(x) ≠ f(y).
• Surjectivité : Application de E dans F telle que tout élément de F est l’image d’au moins un élément de E.
• Bijectivité : Application de E dans F qui est à la fois injective et surjective.

★ À maîtriser

📌 La fonction f(x)=x² est surjective de ℝ vers ℝ⁺, mais elle n’est pas surjective de ℝ vers ℝ, car −4 n’est le carré d’aucun réel.

Compléments

• La fonction f(x)=x² de ℝ vers ℝ n’est pas injective, car −2 et 2 ont la même image.

💡 Astuce mémo

Injective : images distinctes ; surjective : tout l’ensemble d’arrivée est atteint.

📖 2. Relation réciproque et fonction inverse

🔑 Notions clés & Définitions

• Réciproque : Relation qui associe à chaque valeur y obtenue par f le ou les antécédents x dont elle est l’image.

★ À maîtriser

• Pour f(x)=x², la réciproque associe 1 à 1 et à −1, ainsi que 4 à 2 et à −2.

📌 La réciproque d’une fonction f est une fonction si f est injective.

Compléments

• Lorsque la réciproque est une fonction, elle est notée $f^{-1}(x)$.

💡 Astuce mémo

Une réciproque peut associer plusieurs antécédents, alors qu’une fonction inverse n’en associe qu’un seul.

📖 3. Réciproques des fonctions usuelles

★ À maîtriser

📐 Formule — Sur ℝ⁺, la fonction $f(x)=x^2$ possède l’inverse $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$.

📐 Formule — La fonction sinus restreinte à $[-\pi/2,\pi/2]$ possède l’inverse arcsinus, de domaine $[-1{,}1]$ et d’image $[-\pi/2,\pi/2]$.

• La fonction cosinus restreinte à $[0,\pi]$ possède l’inverse arccosinus, de domaine $[-1{,}1]$ et d’image $[0,\pi]$.

Compléments

📐 Formule — La fonction tangente restreinte à $]-\pi/2,\pi/2[$ possède l’inverse arctangente, de domaine ℝ et d’image $]-\pi/2,\pi/2[$.

• La fonction cotangente possède l’inverse arccotangente, de domaine ℝ et d’image $]0,\pi[$.

💡 Astuce mémo

Carré, sinus, cosinus, tangente, cotangente : restreindre le domaine pour obtenir une inverse.

📖 4. Dérivée d’une fonction réciproque

★ À maîtriser

📐 Formule — Si f est une bijection dérivable, alors la dérivée de sa fonction inverse vérifie $\left(f^{-1}(x)\right)'=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$.

• La formule de la dérivée d’une fonction inverse se démontre en dérivant l’identité $f(f^{-1}(x))=x$, ce qui donne $f'(f^{-1}(x))(f^{-1})'(x)=1$.

Compléments

📐 Formule — Pour $f(x)=x^3$, on obtient $\left(\sqrt[3]{x}\right)'=\frac{1}{3(\sqrt[3]{x})^2}$.

💡 Astuce mémo

La composition avec l’inverse donne l’identité → les dérivées sont réciproques.

📖 5. Dérivées des fonctions cyclométriques

★ À maîtriser

📐 Formule — La dérivée de l’arcsinus est $\left(\arcsin x\right)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ pour x dans ]−1,1[.

📐 Formule — La dérivée de l’arccosinus est $\left(\arccos x\right)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ pour x dans ]−1,1[.

📐 Formule — La dérivée de l’arctangente est $\left(\arctan x\right)'=\frac{1}{1+x^2}$.

Compléments

📐 Formule — La dérivée de l’arccotangente est $\left(\operatorname{arccot}x\right)'=-\frac{1}{1+x^2}$.

💡 Astuce mémo

Arcsinus et arccosinus ont le même dénominateur, mais des signes opposés.

📖 6. Théorème de l’Hôpital

★ À maîtriser

📌 Si f et g sont dérivables sur un intervalle et que le quotient f(x)/g(x) présente une forme indéterminée, alors, sous les conditions du théorème, la limite de f(x)/g(x) est égale à la limite de f'(x)/g'(x).

Compléments

• On obtient $\lim_{x\to3}\frac{x^2-8x+15}{x^2-2x-3}=-\frac12$ en appliquant le théorème de l’Hôpital.

💡 Astuce mémo

Forme indéterminée → dériver numérateur et dénominateur → calculer la nouvelle limite.

📊 Tableaux de synthèse

Domaines des fonctions inverses