QCM : Fonctions réciproques et dérivées — 17 questions

Question 1

1. Quelle propriété caractérise une application injective de $E$ dans $F$ ?

Deux éléments distincts de

E

ont des images distinctes

Chaque élément de

F

possède exactement une image

Tout élément de

F

possède au moins un antécédent

L’application est à la fois injective et surjective

Explication

Une application injective conserve la distinction entre les éléments : des antécédents distincts ont des images distinctes. La propriété selon laquelle tout élément de $F$ est atteint définit la surjectivité.

Answer

Deux éléments distincts de $$E$$ ont des images distinctes

Question 2

2. Une application de $E$ dans $F$ est-elle surjective lorsque chaque élément de $F$ est l’image d’au moins un élément de $E$ ?

Non, car la surjectivité exige que

E

et

F

aient le même nombre d’éléments

Non, car chaque élément de

F

doit avoir un unique antécédent

Oui, car deux antécédents distincts ont des images distinctes

Oui, car tout élément de l’ensemble d’arrivée est atteint

Explication

La surjectivité signifie que chaque élément de l’ensemble d’arrivée $F$ possède au moins un antécédent dans $E$ . L’unicité des antécédents relève de l’injectivité, et non de la surjectivité.

Answer

Oui, car tout élément de l’ensemble d’arrivée est atteint

Question 3

3. À quelle condition une application est-elle bijective ?

Lorsqu’elle possède au moins deux antécédents pour chaque image

Lorsqu’elle est à la fois injective et surjective

Lorsqu’elle associe des images distinctes à certains antécédents

Lorsqu’elle atteint plusieurs éléments de l’ensemble d’arrivée

Explication

Une application est bijective lorsqu’elle vérifie simultanément l’injectivité et la surjectivité. Les autres propriétés décrivent seulement des situations partielles et ne garantissent pas ces deux conditions.

Answer

Lorsqu’elle est à la fois injective et surjective

Question 4

4. Pourquoi $f(x)=x^2$ est-elle surjective de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}^+$ , mais pas de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ ?

Les réels positifs ont des antécédents, tandis que

-4

n’est le carré d’aucun réel

La fonction atteint tous les réels, mais elle associe deux images à chaque antécédent

Les réels positifs n’ont pas d’antécédents, tandis que les réels négatifs en ont

La fonction devient injective lorsque l’ensemble d’arrivée est étendu à

\mathbb{R}

Explication

Tout réel positif ou nul est le carré d’un réel, alors qu’un nombre négatif comme $-4$ ne peut pas être un carré réel. Le choix de l’ensemble d’arrivée détermine donc la surjectivité.

Answer

Les réels positifs ont des antécédents, tandis que $$-4$$ n’est le carré d’aucun réel

Question 5

5. Que décrit la réciproque d’une fonction $f$ ?

Elle remplace chaque image par une valeur indépendante de l’antécédent

Elle associe à chaque valeur obtenue les antécédents qui lui correspondent

Elle associe à chaque antécédent la valeur obtenue par la fonction

Elle conserve l’ensemble de départ sans considérer les valeurs atteintes

Explication

La réciproque inverse le point de vue de la fonction : à une valeur obtenue, elle associe le ou les antécédents correspondants. Le second choix décrit le fonctionnement de la fonction initiale, non celui de sa réciproque.

Answer

Elle associe à chaque valeur obtenue les antécédents qui lui correspondent

Question 6

6. Que fait la réciproque de la fonction $f(x)=x^2$ définie sur $\mathbb{R}$ ?

Elle associe chaque nombre positif à son unique racine positive

Elle associe

1

à

1

et à

-1

, ainsi que

4

à

2

et à

-2

Elle associe

1

à

-1

et

4

à

-2

, sans retenir les racines positives

Elle associe

1

à

1

et à

4

, ainsi que

-1

à

-1

et à

-4

Explication

Les nombres $1$ et $4$ ont respectivement pour antécédents $1,-1$ et $2,-2$ par la fonction carré. Cette réciproque est donc une relation à plusieurs valeurs pour certaines images, et non une fonction univoque.

Answer

Elle associe $$1$$ à $$1$$ et à $$-1$$, ainsi que $$4$$ à $$2$$ et à $$-2$$

Question 7

7. Dans quelle situation la réciproque d’une fonction $f$ est-elle elle-même une fonction ?

Lorsque

f

est surjective vers tout ensemble d’arrivée

Lorsque

f

est injective

Lorsque

f

possède un ensemble d’arrivée plus grand que son domaine

Lorsque

f

associe deux antécédents à chaque valeur

Explication

La réciproque est une fonction lorsque chaque valeur obtenue par $f$ possède un antécédent unique, ce que garantit l’injectivité. La surjectivité concerne plutôt le fait que les éléments de l’ensemble d’arrivée soient atteints.

Answer

Lorsque $$f$$ est injective

Question 8

8. Quelle est l’expression de l’inverse de $f(x)=x^2$ lorsque cette fonction est considérée sur $\mathbb{R}^+$ ?

f^{-1}(x)=\frac{1}{x^2}

f^{-1}(x)=x^2

f^{-1}(x)=-\sqrt{x}

f^{-1}(x)=\sqrt{x}

Explication

Sur $\mathbb{R}^+$ , la fonction carré est injective et son inverse associe à un nombre positif sa racine carrée positive. La formule $-\sqrt{x}$ correspondrait à la restriction du carré à $\mathbb{R}^-$ .

Answer

$$f^{-1}(x)=\sqrt{x}$$

Question 9

9. Quels sont le domaine et l’image de l’arcsinus, inverse du sinus restreint à $[-\pi/2,\pi/2]$ ?

Domaine

[-\pi/2,\pi/2]

et image

[-1,1]

Domaine

[0,\pi]

et image

[-1,1]

Domaine

[-1,1]

et image

[-\pi/2,\pi/2]

Domaine

\mathbb{R}

et image

]-\pi/2,\pi/2[

Explication

Le sinus restreint atteint les valeurs de $[-1,1]$ et reçoit ses arguments dans $[-\pi/2,\pi/2]$ ; l’inversion échange donc ces deux intervalles. Le domaine de l’arcsinus est ainsi $[-1,1]$ , tandis que son image est $[-\pi/2,\pi/2]$ .

Answer

Domaine $$[-1,1]$$ et image $$[-\pi/2,\pi/2]$$

Question 10

10. Quels sont le domaine et l’image de l’arccosinus, inverse du cosinus restreint à $[0,\pi]$ ?

Domaine

[-1,1]

et image

[-\pi/2,\pi/2]

Domaine

[0,\pi]

et image

[-1,1]

Domaine

\mathbb{R}

et image

[0,\pi]

Domaine

[-1,1]

et image

[0,\pi]

Explication

Le cosinus restreint à $[0,\pi]$ prend toutes les valeurs de $[-1,1]$ , et son inverse renvoie vers l’intervalle angulaire $[0,\pi]$ . L’arccosinus a donc pour domaine $[-1,1]$ et pour image $[0,\pi]$ .

Answer

Domaine $$[-1,1]$$ et image $$[0,\pi]$$

Question 11

11. Si $f$ est une bijection dérivable, quelle expression donne la dérivée de sa fonction inverse en $x$ ?

f'(f^{-1}(x))

\frac{1}{f'(x)}

f^{-1}(f'(x))

\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}

Explication

La dérivée de la fonction inverse s’obtient en évaluant la dérivée de $f$ en $f^{-1}(x)$ , puis en prenant son inverse multiplicatif. L’expression $1/f'(x)$ omet cette composition avec la fonction inverse.

Answer

$$\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$$

Question 12

12. En dérivant l’identité $f(f^{-1}(x))=x$ , quelle relation permet de justifier la formule de la dérivée d’une fonction inverse ?

f'(f^{-1}(x))(f^{-1})'(x)=0

f'(x)+(f^{-1})'(x)=1

f'(f^{-1}(x))(f^{-1})'(x)=1

f(f^{-1}(x))=0

Explication

La règle de dérivation des fonctions composées appliquée au membre gauche donne un produit égal à la dérivée de $x$ , soit $1$ . La composée $f\circ f^{-1}$ n’est donc pas une constante égale à zéro.

Answer

$$f'(f^{-1}(x))(f^{-1})'(x)=1$$

Question 13

13. Pour $x\in]-1,1[$ , quelle est la dérivée de l’arcsinus ?

-\frac{1}{1+x^2}

\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

\frac{1}{1+x^2}

Explication

La dérivée de l’arcsinus est positive et vaut l’inverse de $\sqrt{1-x^2}$ sur l’intervalle considéré. Le signe négatif correspond à la dérivée de l’arccosinus, et le dénominateur $1+x^2$ concerne les fonctions tangentielles inverses.

Answer

$$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

Question 14

14. Pour $x\in]-1,1[$ , quelle expression représente la dérivée de l’arccosinus ?

-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

\frac{1}{1+x^2}

-\frac{1}{1+x^2}

Explication

L’arccosinus possède une dérivée négative, égale à l’opposé de celle de l’arcsinus. Les expressions contenant $1+x^2$ sont associées aux dérivées de l’arctangente et de l’arccotangente.

Answer

$$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

Question 15

15. Quelle formule donne la dérivée de l’arctangente pour tout réel $x$ ?

-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

\frac{1}{1+x^2}

\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

-\frac{1}{1+x^2}

Explication

La dérivée de l’arctangente est $1/(1+x^2)$ , expression définie pour tout réel. Le signe négatif avec le même dénominateur correspond à l’arccotangente.

Answer

$$\frac{1}{1+x^2}$$

Question 16

16. Dans quelles conditions le théorème de l’Hôpital permet-il de remplacer la limite de $\frac{f(x)}{g(x)}$ par celle de $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ ?

Lorsque les deux fonctions sont continues, quelle que soit la forme du quotient

Lorsque le quotient présente une forme indéterminée et que les conditions du théorème sont satisfaites

Lorsque les dérivées existent en un seul point de l’intervalle considéré

Lorsque le quotient possède une limite finie connue avant toute dérivation

Explication

Le théorème s’applique lorsque $f$ et $g$ sont dérivables sur un intervalle, que le quotient présente une forme indéterminée et que les autres hypothèses requises sont vérifiées. La simple continuité ou l’existence ponctuelle des dérivées ne suffit pas.

Answer

Lorsque le quotient présente une forme indéterminée et que les conditions du théorème sont satisfaites

Question 17

17. En appliquant le théorème de l’Hôpital, quelle est la valeur de $\lim_{x\to3}\frac{x^2-8x+15}{x^2-2x-3}$ ?

2

\frac{1}{2}

-\frac{1}{2}

-2

Explication

La limite est une forme indéterminée, puis le théorème conduit au quotient des dérivées, dont la limite vaut $-1/2$ . Le signe positif provient d’une erreur fréquente dans le calcul du quotient dérivé.

Answer

$$-\frac{1}{2}$$

QCM : Fonctions réciproques et dérivées — 17 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle propriété caractérise une application injective de $E$ dans $F$ ?

2. Une application de $E$ dans $F$ est-elle surjective lorsque chaque élément de $F$ est l’image d’au moins un élément de $E$ ?

3. À quelle condition une application est-elle bijective ?

4. Pourquoi $f(x)=x^2$ est-elle surjective de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}^+$ , mais pas de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ ?

5. Que décrit la réciproque d’une fonction $f$ ?

6. Que fait la réciproque de la fonction $f(x)=x^2$ définie sur $\mathbb{R}$ ?

7. Dans quelle situation la réciproque d’une fonction $f$ est-elle elle-même une fonction ?

8. Quelle est l’expression de l’inverse de $f(x)=x^2$ lorsque cette fonction est considérée sur $\mathbb{R}^+$ ?

9. Quels sont le domaine et l’image de l’arcsinus, inverse du sinus restreint à $[-\pi/2,\pi/2]$ ?

10. Quels sont le domaine et l’image de l’arccosinus, inverse du cosinus restreint à $[0,\pi]$ ?

11. Si $f$ est une bijection dérivable, quelle expression donne la dérivée de sa fonction inverse en $x$ ?

12. En dérivant l’identité $f(f^{-1}(x))=x$ , quelle relation permet de justifier la formule de la dérivée d’une fonction inverse ?

13. Pour $x\in]-1,1[$ , quelle est la dérivée de l’arcsinus ?

14. Pour $x\in]-1,1[$ , quelle expression représente la dérivée de l’arccosinus ?

15. Quelle formule donne la dérivée de l’arctangente pour tout réel $x$ ?

16. Dans quelles conditions le théorème de l’Hôpital permet-il de remplacer la limite de $\frac{f(x)}{g(x)}$ par celle de $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ ?

17. En appliquant le théorème de l’Hôpital, quelle est la valeur de $\lim_{x\to3}\frac{x^2-8x+15}{x^2-2x-3}$ ?

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QCM : Fonctions réciproques et dérivées — 17 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle propriété caractérise une application injective de EEE dans FFF ?

2. Une application de EEE dans FFF est-elle surjective lorsque chaque élément de FFF est l’image d’au moins un élément de EEE ?

3. À quelle condition une application est-elle bijective ?

4. Pourquoi f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2 est-elle surjective de R\mathbb{R}R vers R+\mathbb{R}^+R+, mais pas de R\mathbb{R}R vers R\mathbb{R}R ?

5. Que décrit la réciproque d’une fonction fff ?

6. Que fait la réciproque de la fonction f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2 définie sur R\mathbb{R}R ?

7. Dans quelle situation la réciproque d’une fonction fff est-elle elle-même une fonction ?

8. Quelle est l’expression de l’inverse de f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2 lorsque cette fonction est considérée sur R+\mathbb{R}^+R+ ?

9. Quels sont le domaine et l’image de l’arcsinus, inverse du sinus restreint à [−π/2,π/2][-\pi/2,\pi/2][−π/2,π/2] ?

10. Quels sont le domaine et l’image de l’arccosinus, inverse du cosinus restreint à [0,π][0,\pi][0,π] ?

11. Si fff est une bijection dérivable, quelle expression donne la dérivée de sa fonction inverse en xxx ?

12. En dérivant l’identité f(f−1(x))=xf(f^{-1}(x))=xf(f−1(x))=x, quelle relation permet de justifier la formule de la dérivée d’une fonction inverse ?

13. Pour x∈]−1,1[x\in]-1,1[x∈]−1,1[, quelle est la dérivée de l’arcsinus ?

14. Pour x∈]−1,1[x\in]-1,1[x∈]−1,1[, quelle expression représente la dérivée de l’arccosinus ?

15. Quelle formule donne la dérivée de l’arctangente pour tout réel xxx ?

16. Dans quelles conditions le théorème de l’Hôpital permet-il de remplacer la limite de f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)}g(x)f(x)​ par celle de f′(x)g′(x)\frac{f'(x)}{g'(x)}g′(x)f′(x)​ ?

17. En appliquant le théorème de l’Hôpital, quelle est la valeur de lim⁡x→3x2−8x+15x2−2x−3\lim_{x\to3}\frac{x^2-8x+15}{x^2-2x-3}limx→3​x2−2x−3x2−8x+15​ ?

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1. Quelle propriété caractérise une application injective de $E$ dans $F$ ?

2. Une application de $E$ dans $F$ est-elle surjective lorsque chaque élément de $F$ est l’image d’au moins un élément de $E$ ?

4. Pourquoi $f(x)=x^2$ est-elle surjective de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}^+$ , mais pas de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ ?

5. Que décrit la réciproque d’une fonction $f$ ?

6. Que fait la réciproque de la fonction $f(x)=x^2$ définie sur $\mathbb{R}$ ?

7. Dans quelle situation la réciproque d’une fonction $f$ est-elle elle-même une fonction ?

8. Quelle est l’expression de l’inverse de $f(x)=x^2$ lorsque cette fonction est considérée sur $\mathbb{R}^+$ ?

9. Quels sont le domaine et l’image de l’arcsinus, inverse du sinus restreint à $[-\pi/2,\pi/2]$ ?

10. Quels sont le domaine et l’image de l’arccosinus, inverse du cosinus restreint à $[0,\pi]$ ?

11. Si $f$ est une bijection dérivable, quelle expression donne la dérivée de sa fonction inverse en $x$ ?

12. En dérivant l’identité $f(f^{-1}(x))=x$ , quelle relation permet de justifier la formule de la dérivée d’une fonction inverse ?

13. Pour $x\in]-1,1[$ , quelle est la dérivée de l’arcsinus ?

14. Pour $x\in]-1,1[$ , quelle expression représente la dérivée de l’arccosinus ?

15. Quelle formule donne la dérivée de l’arctangente pour tout réel $x$ ?

16. Dans quelles conditions le théorème de l’Hôpital permet-il de remplacer la limite de $\frac{f(x)}{g(x)}$ par celle de $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ ?

17. En appliquant le théorème de l’Hôpital, quelle est la valeur de $\lim_{x\to3}\frac{x^2-8x+15}{x^2-2x-3}$ ?