QCM : Fonctions trigonométriques — 17 questions

Question 1

1. Sur le cercle trigonométrique, quelle coordonnée du point associé à l’angle orienté $x$ représente $\cos(x)$ ?

La longueur de l’arc parcouru

La distance au centre

L’abscisse du point

L’ordonnée du point

Explication

Le cosinus de $x$ est défini comme l’abscisse du point du cercle trigonométrique associé à cet angle. L’ordonnée représente le sinus, et non le cosinus.

Answer

L’abscisse du point

Question 2

2. Quelle est la valeur de $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$ ?

\frac{1}{2}

\frac{\sqrt{2}}{2}

\frac{\sqrt{3}}{2}

1

Explication

Pour l’angle $\frac{\pi}{3}$ , le couple $\left(\cos(x),\sin(x)\right)$ vaut $\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ . La valeur $\frac{1}{2}$ correspond au cosinus de cet angle.

Answer

$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Question 3

3. Quelle relation est vérifiée pour tout réel $x$ par le sinus et le cosinus ?

\cos^2(x)-\sin^2(x)=1

\cos(x)+\sin(x)=1

\cos^2(x)+\sin^2(x)=1

\cos^2(x)+\sin(x)=1

Explication

L’identité trigonométrique fondamentale affirme que $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$ pour tout réel $x$ . Les autres égalités ne constituent pas une identité générale entre le sinus et le cosinus.

Answer

$$\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$$

Question 4

4. Quelle affirmation décrit correctement les valeurs possibles de $\sin(x)$ et de $\cos(x)$ pour un réel $x$ ?

Leur produit appartient à l’intervalle

[1;+\infty[

Leur somme appartient à l’intervalle

[-1;1]

Chacune appartient à l’intervalle

[-1;1]

Chacune appartient à l’intervalle

[0;1]

Explication

Le sinus et le cosinus sont tous deux compris entre $-1$ et $1$ pour tout réel. Ils peuvent donc prendre des valeurs négatives, contrairement à l’affirmation les limitant à $[0;1]$ .

Answer

Chacune appartient à l’intervalle $$[-1;1]$$

Question 5

5. Quelle démarche permet de résoudre une inéquation trigonométrique sur un intervalle donné ?

Repérer les angles sur le cercle puis retenir les solutions de l’intervalle

Chercher une seule valeur puis l’étendre par une multiplication

Calculer une primitive puis annuler la constante d’intégration

Remplacer l’angle par sa valeur en degrés avant toute lecture

Explication

La résolution consiste à repérer sur le cercle les angles correspondant à la condition, puis à sélectionner les solutions situées dans l’intervalle demandé. Une primitive ou une conversion systématique en degrés ne fournit pas cette méthode.

Answer

Repérer les angles sur le cercle puis retenir les solutions de l’intervalle

Question 6

6. Quel ensemble donne les solutions réelles de $\cos^2(x)=\frac{1}{2}$ ?

\left\{\frac{\pi}{3}+k\frac{\pi}{2}\mid k\in\mathbb{Z}\right\}

\left\{\frac{\pi}{4}+2k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\}

\left\{\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\mid k\in\mathbb{Z}\right\}

\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\}

Explication

Les solutions sont espacées de $\frac{\pi}{2}$ et s’écrivent $\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}$ avec $k\in\mathbb{Z}$ . Une période de $2\pi$ seule ou les angles associés à $\frac{\pi}{3}$ ne décrivent pas toutes les solutions.

Answer

$$\left\{\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\mid k\in\mathbb{Z}\right\}$$

Question 7

7. Dans l’intervalle $[-\pi;\pi]$ , quel est l’ensemble des solutions de $\sin(x)\leq\frac{\sqrt{3}}{2}$ ?

\left[-\pi;-\frac{\pi}{3}\right]\cup\left[\frac{\pi}{3};\pi\right]

\left[\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3}\right]

\left[-\pi;\frac{\pi}{3}\right]\cup\left[\frac{2\pi}{3};\pi\right]

\left[-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{3}\right]

Explication

Sur $[-\pi;\pi]$ , le sinus dépasse $\frac{\sqrt{3}}{2}$ entre $\frac{\pi}{3}$ et $\frac{2\pi}{3}$ , donc les autres portions de l’intervalle sont retenues. L’intervalle central correspond ainsi à la zone exclue, et non à l’ensemble solution.

Answer

$$\left[-\pi;\frac{\pi}{3}\right]\cup\left[\frac{2\pi}{3};\pi\right]$$

Question 8

8. Quelle égalité exprime la périodicité de la fonction cosinus ?

\cos(x+\pi)=\sin(x)

pour tout réel

x

\cos(x+k\pi)=\cos(x)

pour tout

k\in\mathbb{Z}

\cos(x+2k\pi)=\cos(x)

pour tout

k\in\mathbb{Z}

\cos(2x)=\cos(x)

pour tout réel

x

Explication

La fonction cosinus se répète après toute translation de $2k\pi$ , où $k$ est un entier relatif. Une translation de $\pi$ change généralement le signe du cosinus, elle ne conserve donc pas sa valeur.

Answer

$$\cos(x+2k\pi)=\cos(x)$$ pour tout $$k\in\mathbb{Z}$$

Question 9

9. Quelle propriété de parité caractérise correctement le sinus et le cosinus ?

Le cosinus est impair et le sinus est pair

Les deux fonctions sont impaires

Les deux fonctions sont paires

Le cosinus est pair et le sinus est impair

Explication

On a $\cos(-x)=\cos(x)$ , ce qui rend le cosinus pair, et $\sin(-x)=-\sin(x)$ , ce qui rend le sinus impair. Leurs courbes possèdent donc des symétries différentes.

Answer

Le cosinus est pair et le sinus est impair

Question 10

10. Quelle expression définit correctement la fonction cosinus sur $\mathbb{R}$ ?

À tout réel

x

, elle associe le nombre

\sin(x)

À tout réel

x

, elle associe l’angle dont le cosinus vaut

x

À tout réel

x

, elle associe le nombre

\cos(2x)

À tout réel

x

, elle associe le nombre

\cos(x)

Explication

La fonction cosinus est définie sur $\mathbb{R}$ et associe à chaque réel $x$ la valeur $\cos(x)$ . L’association avec $\sin(x)$ décrit la fonction sinus, tandis que les deux autres propositions définissent d’autres opérations.

Answer

À tout réel $$x$$, elle associe le nombre $$\cos(x)$$

Question 11

11. Quelle est la dérivée de la fonction $g(x)=\cos(x)$ ?

g'(x)=-\cos(x)

g'(x)=\sin(x)

g'(x)=-\sin(x)

g'(x)=\cos(x)

Explication

La dérivée du cosinus est l’opposé du sinus, donc elle s’écrit $-\sin(x)$ . La confusion fréquente consiste à intervertir cette règle avec celle du sinus, dont la dérivée vaut $\cos(x)$ .

Answer

$$g'(x)=-\sin(x)$$

Question 12

12. Pour $a=3$ et $b=1$ , quelle est la dérivée de $h(x)=\sin(3x+1)$ ?

h'(x)=-\cos(3x+1)

h'(x)=\cos(3x+1)

h'(x)=3\cos(3x+1)

h'(x)=-3\sin(3x+1)

Explication

La dérivée de $\sin(ax+b)$ est $a\cos(ax+b)$ , ce qui donne ici $3\cos(3x+1)$ . Omettre le facteur 3 reviendrait à dériver l’expression intérieure comme si elle était simplement $x$ .

Answer

$$h'(x)=3\cos(3x+1)$$

Question 13

13. Quelle évolution décrit correctement le cosinus sur $[0;\pi]$ et le sinus sur $\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$ ?

Le cosinus croît de -1 à 1 et le sinus décroît de 1 à 0.

Le cosinus décroît de 1 à -1 et le sinus croît de 0 à 1.

Le cosinus décroît de 0 à -1 et le sinus croît de 1 à 0.

Le cosinus croît de 1 à -1 et le sinus décroît de 0 à 1.

Explication

Sur $[0;\pi]$ , le cosinus passe de 1 à -1 en décroissant, tandis que le sinus passe de 0 à 1 en croissant sur $\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$ . Les autres propositions inversent au moins l’un de ces sens de variation ou leurs valeurs aux extrémités.

Answer

Le cosinus décroît de 1 à -1 et le sinus croît de 0 à 1.

Question 14

14. Quelle propriété caractérise la fonction $f(x)=\cos(2x)-\frac12$ par rapport à sa symétrie ?

Elle est paire et sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Elle est impaire et sa courbe est symétrique par rapport à l’origine.

Elle est paire et sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des abscisses.

Elle n’est ni paire ni impaire et sa courbe possède une symétrie centrale.

Explication

Comme $f(-x)=f(x)$ , la fonction est paire et sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Une symétrie par rapport à l’origine correspondrait à une fonction impaire, ce qui n’est pas le cas ici.

Answer

Elle est paire et sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Question 15

15. Quelle est la période de la fonction $f(x)=\cos(2x)-\frac12$ ?

\frac{\pi}{2}

2\pi

\pi

4\pi

Explication

La relation $f(x+\pi)=f(x)$ montre que la période de cette fonction est $\pi$ . La valeur $2\pi$ est la période de $\cos(x)$ , mais le facteur 2 devant $x$ réduit ici la période.

Answer

$$f'(x)=-2\sin(2x)$$

Answer

Parce que $$2x\in[0;\pi]$$ entraîne $$\sin(2x)\geq0$$, donc $$f'(x)\leq0$$.

Question 16

16. Quelle est la dérivée de $f(x)=\cos(2x)-\frac12$ ?

f'(x)=\sin(2x)

f'(x)=-2\sin(2x)

f'(x)=-\sin(2x)

f'(x)=2\cos(2x)

Explication

La règle de dérivation composée donne la dérivée de $\cos(2x)$ sous la forme $-2\sin(2x)$ , tandis que la constante $-\frac12$ a une dérivée nulle. L’expression sans facteur 2 oublie la dérivée de l’argument $2x$ .

Question 17

17. Pourquoi la fonction $f(x)=\cos(2x)-\frac12$ est-elle décroissante sur $\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$ ?

Parce que

x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]

entraîne

\sin(x)\leq0

, donc

f'(x)\geq0

.

Parce que

2x\in[0;\pi]

entraîne

\sin(2x)\geq0

, donc

f'(x)\leq0

.

Parce que la constante

-\frac12

rend la dérivée négative sur cet intervalle.

Parce que

2x\in[0;\pi]

entraîne

\cos(2x)\geq0

, donc

f'(x)\geq0

.

Explication

Sur l’intervalle considéré, $2x$ appartient à $[0;\pi]$ , où le sinus est positif ou nul; ainsi $f'(x)=-2\sin(2x)\leq0$ . La constante $-\frac12$ modifie les valeurs de la fonction, mais elle n’influence pas sa dérivée.

QCM : Fonctions trigonométriques — 17 questions

Questions et réponses du QCM

1. Sur le cercle trigonométrique, quelle coordonnée du point associé à l’angle orienté $x$ représente $\cos(x)$ ?

2. Quelle est la valeur de $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$ ?

3. Quelle relation est vérifiée pour tout réel $x$ par le sinus et le cosinus ?

4. Quelle affirmation décrit correctement les valeurs possibles de $\sin(x)$ et de $\cos(x)$ pour un réel $x$ ?

5. Quelle démarche permet de résoudre une inéquation trigonométrique sur un intervalle donné ?

6. Quel ensemble donne les solutions réelles de $\cos^2(x)=\frac{1}{2}$ ?

7. Dans l’intervalle $[-\pi;\pi]$ , quel est l’ensemble des solutions de $\sin(x)\leq\frac{\sqrt{3}}{2}$ ?

8. Quelle égalité exprime la périodicité de la fonction cosinus ?

9. Quelle propriété de parité caractérise correctement le sinus et le cosinus ?

10. Quelle expression définit correctement la fonction cosinus sur $\mathbb{R}$ ?

11. Quelle est la dérivée de la fonction $g(x)=\cos(x)$ ?

12. Pour $a=3$ et $b=1$ , quelle est la dérivée de $h(x)=\sin(3x+1)$ ?

13. Quelle évolution décrit correctement le cosinus sur $[0;\pi]$ et le sinus sur $\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$ ?

14. Quelle propriété caractérise la fonction $f(x)=\cos(2x)-\frac12$ par rapport à sa symétrie ?

15. Quelle est la période de la fonction $f(x)=\cos(2x)-\frac12$ ?

16. Quelle est la dérivée de $f(x)=\cos(2x)-\frac12$ ?

17. Pourquoi la fonction $f(x)=\cos(2x)-\frac12$ est-elle décroissante sur $\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$ ?

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QCM : Fonctions trigonométriques — 17 questions

Questions et réponses du QCM

1. Sur le cercle trigonométrique, quelle coordonnée du point associé à l’angle orienté xxx représente cos⁡(x)\cos(x)cos(x) ?

2. Quelle est la valeur de sin⁡(π3)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)sin(3π​) ?

3. Quelle relation est vérifiée pour tout réel xxx par le sinus et le cosinus ?

4. Quelle affirmation décrit correctement les valeurs possibles de sin⁡(x)\sin(x)sin(x) et de cos⁡(x)\cos(x)cos(x) pour un réel xxx ?

5. Quelle démarche permet de résoudre une inéquation trigonométrique sur un intervalle donné ?

6. Quel ensemble donne les solutions réelles de cos⁡2(x)=12\cos^2(x)=\frac{1}{2}cos2(x)=21​ ?

7. Dans l’intervalle [−π;π][-\pi;\pi][−π;π], quel est l’ensemble des solutions de sin⁡(x)≤32\sin(x)\leq\frac{\sqrt{3}}{2}sin(x)≤23​​ ?

8. Quelle égalité exprime la périodicité de la fonction cosinus ?

9. Quelle propriété de parité caractérise correctement le sinus et le cosinus ?

10. Quelle expression définit correctement la fonction cosinus sur R\mathbb{R}R ?

11. Quelle est la dérivée de la fonction g(x)=cos⁡(x)g(x)=\cos(x)g(x)=cos(x) ?

12. Pour a=3a=3a=3 et b=1b=1b=1, quelle est la dérivée de h(x)=sin⁡(3x+1)h(x)=\sin(3x+1)h(x)=sin(3x+1) ?

13. Quelle évolution décrit correctement le cosinus sur [0;π][0;\pi][0;π] et le sinus sur [0;π2]\left[0;\frac{\pi}{2}\right][0;2π​] ?

14. Quelle propriété caractérise la fonction f(x)=cos⁡(2x)−12f(x)=\cos(2x)-\frac12f(x)=cos(2x)−21​ par rapport à sa symétrie ?

15. Quelle est la période de la fonction f(x)=cos⁡(2x)−12f(x)=\cos(2x)-\frac12f(x)=cos(2x)−21​ ?

16. Quelle est la dérivée de f(x)=cos⁡(2x)−12f(x)=\cos(2x)-\frac12f(x)=cos(2x)−21​ ?

17. Pourquoi la fonction f(x)=cos⁡(2x)−12f(x)=\cos(2x)-\frac12f(x)=cos(2x)−21​ est-elle décroissante sur [0;π2]\left[0;\frac{\pi}{2}\right][0;2π​] ?

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1. Sur le cercle trigonométrique, quelle coordonnée du point associé à l’angle orienté $x$ représente $\cos(x)$ ?

2. Quelle est la valeur de $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$ ?

3. Quelle relation est vérifiée pour tout réel $x$ par le sinus et le cosinus ?

4. Quelle affirmation décrit correctement les valeurs possibles de $\sin(x)$ et de $\cos(x)$ pour un réel $x$ ?

6. Quel ensemble donne les solutions réelles de $\cos^2(x)=\frac{1}{2}$ ?

7. Dans l’intervalle $[-\pi;\pi]$ , quel est l’ensemble des solutions de $\sin(x)\leq\frac{\sqrt{3}}{2}$ ?

10. Quelle expression définit correctement la fonction cosinus sur $\mathbb{R}$ ?

11. Quelle est la dérivée de la fonction $g(x)=\cos(x)$ ?

12. Pour $a=3$ et $b=1$ , quelle est la dérivée de $h(x)=\sin(3x+1)$ ?

13. Quelle évolution décrit correctement le cosinus sur $[0;\pi]$ et le sinus sur $\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$ ?

14. Quelle propriété caractérise la fonction $f(x)=\cos(2x)-\frac12$ par rapport à sa symétrie ?

15. Quelle est la période de la fonction $f(x)=\cos(2x)-\frac12$ ?

16. Quelle est la dérivée de $f(x)=\cos(2x)-\frac12$ ?

17. Pourquoi la fonction $f(x)=\cos(2x)-\frac12$ est-elle décroissante sur $\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$ ?