Fiche de révision : Fonctions trigonométriques

📋 Plan du Cours

1. Cercle trigonométrique et valeurs remarquables
2. Équations et inéquations trigonométriques
3. Périodicité et parité
4. Dérivées et variations
5. Étude d’une fonction trigonométrique

📖 1. Cercle trigonométrique et valeurs remarquables

🔑 Notions clés & Définitions

• Cosinus : Abscisse du point M du cercle trigonométrique associé à l’angle orienté x.
• Sinus : Ordonnée du point M du cercle trigonométrique associé à l’angle orienté x.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour tout réel x, $-1\leq \sin(x)\leq 1$ et $-1\leq \cos(x)\leq 1$.

📐 Formule — Pour tout réel x, $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$.

• Pour les angles 0, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2}$ et $\pi$, les couples $\bigl(\cos(x),\sin(x)\bigr)$ sont respectivement $(1{,}0)$, $\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac12\right)$, $\left(\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}\right)$, $\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right)$, $(0{,}1)$ et $(-1{,}0)$.

💡 Astuce mémo

Cosinus sur l’axe des abscisses, sinus sur l’axe des ordonnées

📖 2. Équations et inéquations trigonométriques

📝 Points essentiels

• Pour résoudre une équation ou une inéquation trigonométrique, on repère d’abord les angles correspondants sur le cercle trigonométrique, puis on lit les solutions dans l’intervalle ou sur $\mathbb R$ demandé.

• Les solutions dans $\mathbb R$ de $\cos^2(x)=\frac12$ sont $S=\left\{\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\mid k\in\mathbb Z\right\}$.

• Dans $[-\pi;\pi]$, les solutions de $\sin(x)\leq\frac{\sqrt3}{2}$ sont $S=\left[-\pi;\frac{\pi}{3}\right]\cup\left[\frac{2\pi}{3};\pi\right]$.

💡 Astuce mémo

Repérer les angles, lire le cercle, écrire l’ensemble solution

📖 3. Périodicité et parité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction cosinus : Définie sur ℝ et associe à tout réel x le nombre cos(x).

★ À maîtriser

📌 Pour tout réel x et tout entier relatif k, $\cos(x+2k\pi)=\cos(x)$ et $\sin(x+2k\pi)=\sin(x)$.

📌 La fonction cosinus est paire, car $\cos(-x)=\cos(x)$ et sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, tandis que la fonction sinus est impaire, car $\sin(-x)=-\sin(x)$ et sa courbe est symétrique par rapport à l’origine.

Compléments

• Pour compléter la courbe d’une fonction impaire et périodique de période $\pi$, on utilise d’abord la symétrie centrale par rapport à l’origine, puis on reproduit le motif par translations horizontales de longueur $\pi$.

💡 Astuce mémo

Cosinus pair par rapport à l’axe vertical, sinus impair par rapport à l’origine

📖 4. Dérivées et variations

★ À maîtriser

📐 Formule — Les dérivées fondamentales sont $\cos'(x)=-\sin(x)$ et $\sin'(x)=\cos(x)$.

📐 Formule — Pour des réels a et b, $\bigl(\cos(ax+b)\bigr)'=-a\sin(ax+b)$ et $\bigl(\sin(ax+b)\bigr)'=a\cos(ax+b)$.

• Le tableau de variations de la fonction cosinus sur $[0;\pi]$ montre qu’elle décroît de 1 à -1, tandis que celui du sinus sur $\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$ montre qu’il croît de 0 à 1.

Compléments

📌 Les représentations graphiques du cosinus et du sinus se prolongent à partir d’un intervalle connu par leurs symétries respectives et par des translations de longueur $2\pi$.

💡 Astuce mémo

C→−S et S→C

📖 5. Étude d’une fonction trigonométrique

★ À maîtriser

📌 Pour $f(x)=\cos(2x)-\frac12$, on a $f(-x)=f(x)$, donc f est paire et sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

📌 Pour $f(x)=\cos(2x)-\frac12$, $f(x+\pi)=f(x)$, donc f est périodique de période $\pi$.

📐 Formule — La dérivée de $f(x)=\cos(2x)-\frac12$ est $f'(x)=-2\sin(2x)$.

📌 Sur $\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$, la fonction $f(x)=\cos(2x)-\frac12$ est décroissante, car $2x\in[0;\pi]$ implique $\sin(2x)\geq0$ et donc $f'(x)\leq0$.

Compléments

• Pour $f(x)=\cos(2x)-\frac12$, on a $f(0)=\frac12$ et $f\left(\frac\pi2\right)=-\frac32$.

💡 Astuce mémo

Parité, période, dérivée, variations, graphique

📊 Tableaux de synthèse

Parité des fonctions trigonométriques