Fiche de révision : Formulaire de trigonométrie

📋 Plan du Cours

1. Valeurs et identités fondamentales
2. Dérivées et symétries trigonométriques
3. Développements et duplication
4. Transformations trigonométriques
5. Équations et factorisation

📖 1. Valeurs et identités fondamentales

★ À maîtriser

📐 Formule — Les identités fondamentales sont $\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}$, $\cot a=\frac{1}{\tan a}=\frac{\cos a}{\sin a}$, $\cos^2 a+\sin^2 a=1$, $1+\tan^2 a=\frac{1}{\cos^2 a}$ et $1+\cot^2 a=\frac{1}{\sin^2 a}$.

• Pour les angles particuliers 0, π/6, π/4, π/3, π/2 et π, les valeurs de cosinus sont respectivement 1, √3/2, √2/2, 1/2, 0 et -1, celles du sinus sont 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1 et 0, et celles de la tangente sont 0, √3/3, 1, √3, non définie et 0.

Compléments

📐 Formule — L’inégalité de contrôle trigonométrique est $|\sin(x)|\leq |x|$.

📖 2. Dérivées et symétries trigonométriques

★ À maîtriser

📐 Formule — Les dérivées sont $\cos' x=-\sin x$, $\sin' x=\cos x$, $\tan' x=1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}$ et $\cot' x=-1-\cot^2 x=-\frac{1}{\sin^2 x}$.

📐 Formule — Les symétries principales sont $\cos(-a)=\cos a$, $\sin(-a)=-\sin a$ et $\tan(-a)=-\tan a$.

• Le sinus et le cosinus sont continus et dérivables sur ℝ, tandis que la tangente est dérivable sur son domaine de définition Dtan.

Compléments

📐 Formule — Les relations de complémentarité sont $\cos\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\sin a$, $\sin\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\cos a$ et $\tan\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\cot a$.

💡 Astuce mémo

Cosinus pair, sinus et tangente impairs

📖 3. Développements et duplication

★ À maîtriser

📐 Formule — Les formules d’addition et de soustraction sont $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$, $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$, $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a$ et $\sin(a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a$.

📐 Formule — Les formules de duplication sont $\cos(2a)=\cos^2a-\sin^2a=1-2\sin^2a=2\cos^2a-1$, $\sin(2a)=2\sin a\cos a$ et $\tan(2a)=\frac{2\tan a}{1-\tan^2a}$.

Compléments

📐 Formule — Les formules de l’arc moitié, avec $t=\tan\left(\frac a2\right)$, sont $\cos a=\frac{1-t^2}{1+t^2}$, $\sin a=\frac{2t}{1+t^2}$ et $\tan a=\frac{2t}{1-t^2}$.

💡 Astuce mémo

Somme ou différence → double angle → arc moitié

📖 4. Transformations trigonométriques

★ À maîtriser

📐 Formule — La linéarisation donne $\cos^2a=\frac{1+\cos(2a)}{2}$ et $\sin^2a=\frac{1-\cos(2a)}{2}$.

📐 Formule — Les transformations de produits en sommes sont $\cos a\cos b=\frac12[\cos(a+b)+\cos(a-b)]$, $\sin a\sin b=\frac12[\cos(a-b)-\cos(a+b)]$ et $\sin a\cos b=\frac12[\sin(a+b)+\sin(a-b)]$.

Compléments

📐 Formule — Les transformations de sommes en produits sont $\cos p+\cos q=2\cos\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right)$, $\cos p-\cos q=-2\sin\left(\frac{p+q}{2}\right)\sin\left(\frac{p-q}{2}\right)$, $\sin p+\sin q=2\sin\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right)$ et $\sin p-\sin q=2\cos\left(\frac{p+q}{2}\right)\sin\left(\frac{p-q}{2}\right)$.

💡 Astuce mémo

Produits ↔ sommes

📖 5. Équations et factorisation

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour $(a,b)\neq(0{,}0)$, toute combinaison linéaire s’écrit $a\cos x+b\sin x=\sqrt{a^2+b^2}\cos(x-\theta)$ avec $\cos\theta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ et $\sin\theta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

📌 Les solutions de $\sin x=\sin a$ sont $x=a\ [2\pi]$ ou $x=\pi-a\ [2\pi]$, celles de $\cos x=\cos a$ sont $x=a\ [2\pi]$ ou $x=-a\ [2\pi]$, celles de $\sin x=\sin a$ et $\cos x=\cos a$ sont $x=a\ [2\pi]$, et celles de $\tan x=\tan a$ sont $x=a\ [\pi]$.

📊 Tableaux de synthèse

Équations trigonométriques