Fiche de révision : Fractions et ensembles de nombres

📋 Plan du Cours

1. Addition et soustraction de fractions
2. Multiplication et division de fractions
3. Schémas de synthèse
4. Ensembles de nombres
5. Appartenance aux ensembles

📖 1. Addition et soustraction de fractions

★ À maîtriser

📌 Pour additionner ou soustraire des fractions de même dénominateur, on conserve le dénominateur et on additionne ou soustrait les numérateurs.

• Pour additionner des fractions de dénominateurs différents, on les transforme d’abord en fractions de même dénominateur, puis on additionne les numérateurs.

Compléments

• Dans l’exemple $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$, le dénominateur commun est 6, donc $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$, $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$ et $\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$.

💡 Astuce mémo

Même dénominateur → additionner les numérateurs ; dénominateurs différents → réduire au même dénominateur

📖 2. Multiplication et division de fractions

★ À maîtriser

📐 Formule — La multiplication de fractions se fait en multipliant les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : $\frac{2}{3}\times\frac{5}{4}=\frac{2\times5}{3\times4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$.

📌 Pour diviser une fraction par une autre, on multiplie la première fraction par l’inverse de la seconde.

Compléments

• Dans l’exemple $\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}$, on inverse $\frac{2}{5}$ puis on calcule $\frac{3}{4}\times\frac{5}{2}=\frac{15}{8}$.

💡 Astuce mémo

Multiplication : multiplier les numérateurs et dénominateurs ; division : multiplier par l’inverse

📖 3. Schémas de synthèse

★ À maîtriser

• Pour retrouver un nombre manquant dans un schéma de synthèse, il faut identifier l’opération utilisée puis effectuer l’opération inverse.

Compléments

• Dans le schéma ⬜ × 4 = 28, le nombre manquant se trouve avec $28\div4=7$.

• Dans le schéma ⬜ + $\frac{3}{5}$ = $\frac{7}{5}$, le nombre manquant se trouve avec $\frac{7}{5}-\frac{3}{5}=\frac{4}{5}$.

💡 Astuce mémo

L’opération connue indique l’opération inverse à effectuer pour retrouver le nombre manquant

📖 4. Ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres naturels : sont les nombres entiers positifs : 0, 1, 2, 3, 4, 5…
• Nombres entiers relatifs : comprennent les nombres entiers positifs et négatifs : … −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3…
• Nombres décimaux : sont les nombres qui possèdent une écriture décimale finie, comme 2,5, −3,7, 0,25 et 4
• Nombres rationnels : sont les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme $\frac{a}{b}$, avec a et b entiers et $b\neq0$
• Nombres réels : sont tous les nombres que l’on peut placer sur une droite graduée et comprennent les nombres rationnels ainsi que les nombres irrationnels comme √2 ou π

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 5. Appartenance aux ensembles

★ À maîtriser

• Les ensembles de nombres sont emboîtés selon la relation $\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb D\subset\mathbb Q\subset\mathbb R$.

Compléments

• Le nombre 5 appartient à ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ et ℝ, tandis que −3 appartient à ℤ, 𝔻, ℚ et ℝ mais pas à ℕ.

• Le nombre 0,5 appartient à 𝔻, ℚ et ℝ, tandis que $\frac{1}{3}$ appartient à ℚ et ℝ mais pas à 𝔻.

• Le nombre √2 appartient à ℝ mais pas à ℚ, car il est présenté comme un nombre irrationnel.

💡 Astuce mémo

Visualiser des ensembles emboîtés, du plus petit ℕ au plus large ℝ

📊 Tableaux de synthèse

Ensembles de nombres