★ À maîtriser
📌 Pour deux réels strictement positifs a et b tels que a < b, on a −a > −b, a² < b² et 1/a > 1/b.
Compléments
📌 Pour comparer des carrés de nombres négatifs, le nombre dont la valeur absolue est la plus grande possède le carré le plus grand ; ainsi (−1,075)² < (−1,076)².
Positif : le carré conserve l’ordre, l’inverse le renverse ; négatif : le carré compare les distances à zéro.
★ À maîtriser
📐 Formule — La différence de deux fractions se calcule en les ramenant au même dénominateur : .
📌 Une division par une fraction revient à multiplier par son inverse : .
Pour A = 2/6 − 3/5, on obtient A = −2/15.
Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux ; ainsi 3/5 × 20/21 = 4/7.
Compléments
📌 Une fraction peut être simplifiée en divisant son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.
Mettre au même dénominateur, calculer, puis simplifier.
Une fraction décimale s’écrit sous forme décimale en utilisant la valeur de position de son dénominateur, par exemple 3/10 + 49/100 = 0,79.
Pour déterminer la fraction de bouteille bue à midi, on calcule d’abord le reste après le matin, soit 1 − 2/3 = 1/3, puis les deux tiers de ce reste, soit 2/3 × 1/3 = 2/9.
Une bouteille entière : boire une fraction du reste revient à multiplier les fractions restantes.
★ À maîtriser
📐 Formule — Pour une puissance de puissance, on multiplie les exposants : .
📐 Formule — Pour un produit de puissances de même exposant, on peut regrouper les bases : .
📐 Formule — Pour un quotient de puissances de même base, on soustrait les exposants : .
Compléments
Pour tout entier non nul n, (3^n)^2 = 3^{2n} et non 3^{n²}.
Pour a et b réels non nuls, a^6 × b^6 = (ab)^6.
Même base : produit ADDITIONNE les exposants, quotient SOUSTRAIT, puissance MULTIPLIE.
★ À maîtriser
Pour a réel non nul et n entier non nul, a^{5n}(a^n)^2 = a^{7n}.
On a 10^{-10}/10^{18} = 10^{-28}.
Compléments
On a 5^0 × 1/5^6 = 5^{-6}.
On a (3^0−3)^3 = (1−3)^3 = −8, et non 3^0.
On a 6^{-3} × 3^{-3} = 18^{-3}, car les bases se multiplient lorsque les exposants sont égaux.
Règles de calcul des puissances
| Situation | Règle | Exemple |
|---|---|---|
| Produit, même base | a^m × a^n = a^{m+n} | a^{5n}(a^n)^2 = a^{7n} |
| Quotient, même base | a^m / a^n = a^{m−n} | 10^{-10}/10^{18}=10^{-28} |
| Puissance de puissance | (a^m)^n = a^{mn} | (3^n)^2=3^{2n} |
| Produit, même exposant | a^n × b^n = (ab)^n | a^6×b^6=(ab)^6 |
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1. Si 0 < a < b, quelle comparaison est correcte ?
2. Laquelle de ces inégalités compare correctement les carrés de −1,075 et de −1,076 ?
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Que vaut l'inégalité entre −a et −b si 0 < a < b ?
On a −a > −b.
Comment se comparent a² et b² si 0 < a < b ?
On a a² < b².
Quelle est l'inégalité entre 1/a et 1/b si 0 < a < b ?
On a 1/a > 1/b.
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