Fiche de révision : Fractions, puissances et géométrie

📋 Plan du Cours

1. Entiers naturels et relatifs
2. Nombres rationnels et fractions irréductibles
3. Calculs avec les fractions
4. Puissances et leurs propriétés
5. Nombres décimaux et écriture scientifique
6. Trigonométrie dans le triangle rectangle
7. Périmètres, aires et volumes

📖 1. Entiers naturels et relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers relatifs : l’ensemble $\mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1{,}0{,}1{,}2{,}3,\ldots\}$, formé des entiers naturels et de leurs opposés
• Entiers relatifs non nuls : l’ensemble $\mathbb{Z}^*=\{\ldots,-2,-1{,}1{,}2{,}3,\ldots\}$

📝 Points essentiels

📌 Tout entier naturel est un entier relatif, ce qui se note $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}$; par exemple, $2\in\mathbb{N}$ tandis que $-2\notin\mathbb{N}$.

💡 Astuce mémo

N contient les naturels positifs ou nuls, tandis que Z ajoute leurs opposés.

📖 2. Nombres rationnels et fractions irréductibles

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre rationnel : un nombre qui peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{b}$, avec a et b entiers et $b\ne0$; l’ensemble des nombres rationnels est noté $\mathbb{Q}$

★ À maîtriser

📌 Tout nombre rationnel non nul possède une unique fraction irréductible $\frac{a}{b}$ avec $a\in\mathbb{Z}$, $b\in\mathbb{N}^*$ et a et b premiers entre eux.

Compléments

• Les nombres 123, 10,2, 0,243 et $\frac{1}{3}$ sont rationnels, car ils peuvent s’écrire comme des quotients de deux entiers à dénominateur non nul.

• La fraction $\frac{-40}{15}$ se réduit en $\frac{-8}{3}$, qui est irréductible car -8 et 3 sont premiers entre eux.

💡 Astuce mémo

Écrire, réduire, vérifier : a/b avec b non nul, puis a et b premiers entre eux.

📖 3. Calculs avec les fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• Inverse d’un nombre : $\frac{1}{a}$, et l’inverse de $\frac{a}{b}$ est $\frac{b}{a}$ lorsque a et b sont non nuls

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour additionner ou soustraire des fractions, on utilise $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+cb}{bd}$ et $\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-cb}{bd}$, avec $b\ne0$ et $d\ne0$.

📐 Formule — Pour multiplier des fractions, on utilise $k\times\frac{a}{b}=\frac{ka}{b}$ et $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$, avec $b\ne0$ et $d\ne0$.

📌 Diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse : $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$, avec $b\ne0$, $c\ne0$ et $d\ne0$.

Compléments

📌 Un quotient $\frac{ka}{kb}$ se simplifie en $\frac{a}{b}$ lorsque $b\ne0$ et $k\ne0$.

💡 Astuce mémo

Additionner au même dénominateur, multiplier directement, diviser par l’inverse.

📖 4. Puissances et leurs propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance entière : le produit de n facteurs égaux à a, et $a^0=1$ par convention

📝 Points essentiels

📌 Pour $a\ne0$, une puissance d’exposant négatif vérifie $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

📐 Formule — Pour a et b non nuls et m,n entiers relatifs, les propriétés sont $a^na^m=a^{n+m}$, $(a^n)^m=a^{nm}$, $(ab)^n=a^nb^n$, $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$ et $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$.

💡 Astuce mémo

Même base : produit P, quotient Q, puissance d’une puissance PP.

📖 5. Nombres décimaux et écriture scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Écriture scientifique : Tout nombre décimal admet une écriture scientifique de la forme $\pm a\times10^n$, avec $1\le a\le10$ et $n\in\mathbb{Z}$.

★ À maîtriser

📌 Tout entier est un nombre décimal, car pour tout entier n on a $n=\frac{n}{10^0}$, d’où $\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}$.

Compléments

• Les nombres 1,23, 51, -5 et $\frac{1}{2}$ sont décimaux, car ils peuvent s’écrire avec un dénominateur puissance de 10.

💡 Astuce mémo

Dénominateur puissance de 10 pour les décimaux, mantisse entre 1 et 10 pour l’écriture scientifique.

📖 6. Trigonométrie dans le triangle rectangle

📝 Points essentiels

📐 Formule — Dans un triangle ABC rectangle en A, pour l’angle ABC, $\sin(ABC)=\frac{AC}{BC}$, $\cos(ABC)=\frac{AB}{BC}$ et $\tan(ABC)=\frac{AC}{AB}=\frac{\sin(ABC)}{\cos(ABC)}$.

📐 Formule — Pour tout angle α compris entre 0° et 90°, on a $\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1$.

💡 Astuce mémo

SOH-CAH-TOA : sinus opposé/hypoténuse, cosinus adjacent/hypoténuse, tangente opposé/adjacent.

📖 7. Périmètres, aires et volumes

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les périmètres et aires sont : carré $P=4c, A=c^2$; rectangle $P=2(L+l), A=Ll$; parallélogramme $P=2(B+b), A=Bh$; trapèze $A=\frac{(B+b)h}{2}$; triangle rectangle ou quelconque $A=\frac{Ll}{2}$ ou $A=\frac{bh}{2}$; cercle et disque $P=2\pi r, A=\pi r^2$; sphère $A=4\pi r^2$.

📐 Formule — Les volumes sont : cube $V=c^3$; pavé droit $V=Llh$; prisme droit et cylindre $V=A_{base}h$, avec pour le cylindre $V=\pi r^2h$; pyramide et cône $V=\frac{A_{base}h}{3}$, avec pour le cône $V=\frac{\pi r^2h}{3}$; boule $V=\frac{4}{3}\pi r^3$.