Fiche de révision : Généralités sur les fonctions

📋 Plan du Cours

1. Images et antécédents par calcul
2. Lecture graphique d’une fonction
3. Variations et extremums
4. Taux de variation
5. Fonction affine et modélisation

📖 1. Images et antécédents par calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Image d’un nombre : L’image d’un nombre par une fonction se calcule en remplaçant la variable par ce nombre dans l’expression de la fonction.

★ À maîtriser

• Pour la fonction $f(x)=(x-3)(x+1)$, on obtient $f(0)=-3$, $f(3)=0$ et $f(-2)=5$.

📐 Formule — La forme développée de la fonction $f(x)=(x-3)(x+1)$ est $f(x)=x^2-2x-3$.

• Pour déterminer les antécédents de 0 par $f$, on résout $f(x)=0$, puis on utilise la forme factorisée et la propriété d’un produit nul, ce qui donne $x=-1$ ou $x=3$.

Compléments

• Pour déterminer les antécédents de −3 par $f$, on résout $x^2-2x-3=-3$, on obtient $x(x-2)=0$ et l’on conclut que les antécédents sont 0 et 2.

💡 Astuce mémo

Image : remplacer ; antécédent : résoudre

📖 2. Lecture graphique d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Lecture d’une image : Sur le graphique d’une fonction, l’image de l’abscisse a est l’ordonnée du point de la courbe d’abscisse a.

📝 Points essentiels

• Pour la courbe donnée sur [−4 ; 4], on lit $f(-4)=2$ et $f(1)=3$.

• Résoudre graphiquement $f(x)=0$ consiste à déterminer les abscisses des points d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses.

• La courbe coupe l’axe des abscisses en −3, −1 et 3, qui sont donc les trois solutions de $f(x)=0$.

📌 Les solutions de $f(x)\geq 0$ sont les abscisses pour lesquelles la courbe est sur ou au-dessus de l’axe des abscisses, soit $[-4;-3]\cup[-1;3]$.

💡 Astuce mémo

Image = ordonnée ; antécédent = abscisse

📖 3. Variations et extremums

★ À maîtriser

• Sur [−4 ; 4], la fonction est décroissante sur [−4 ; −2], croissante sur [−2 ; 1], puis décroissante sur [1 ; 4].

• La fonction atteint un minimum local égal à −1 en x=−2 et un maximum local égal à 3 en x=1.

• Le maximum de f sur [−4 ; 4] est 3, et il est atteint pour x=1.

Compléments

• Sur [−4 ; 4], les valeurs repères du tableau de variations sont f(−4)=2, f(−2)=−1, f(1)=3 et f(4)=−2.

💡 Astuce mémo

Descendre, monter, redescendre

📖 4. Taux de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Le taux de variation d’une fonction entre deux nombres a et b est le quotient de la différence des images par la différence des abscisses, soit $\tau=\frac{g(b)-g(a)}{b-a}$.
• Pente d’une sécante : Le taux de variation entre deux abscisses est le coefficient directeur de la droite sécante passant par les deux points correspondants de la courbe.

📝 Points essentiels

• Pour la fonction carré $g(x)=x^2$, le taux de variation entre 1 et 4 vaut $\tau=5$.

📌 Si une fonction est croissante sur un intervalle, tous ses taux de variation entre deux valeurs de cet intervalle sont positifs.

💡 Astuce mémo

Taux positif : tendance croissante ; taux négatif : tendance décroissante

📖 5. Fonction affine et modélisation

★ À maîtriser

📐 Formule — Le prix total d’un dépannage de t heures est modélisé par $C(t)=35t+40$ pour $t\in[0;8]$, avec 40 € de déplacement et 35 € par heure de travail.

• Le taux de variation de C entre 1 et 3 vaut 35, ce qui représente une augmentation de 35 € pour chaque heure de travail supplémentaire.

📌 Pour tous t1<t2 dans [0 ; 8], le taux de variation de $C(t)=35t+40$ vaut 35, donc C est croissante sur [0 ; 8].

Compléments

• Pour 2 heures de travail, le prix facturé est $C(2)=110$ €, et un paiement de 250 € correspond à 6 heures de travail.

📌 Une fonction affine possède un taux de variation constant, tandis qu’une fonction comme $g(x)=x^2$ peut avoir des taux de variation différents selon l’intervalle.

💡 Astuce mémo

Heures travaillées → coût total

📊 Tableaux de synthèse

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