Fiche de révision : Généralités sur les fonctions

📋 Plan du Cours

1. Signe d’une fonction
2. Fonction et ensemble de définition
3. Courbe représentative d’une fonction
4. Résolutions graphiques
5. Variations d’une fonction

📖 1. Signe d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction positive : Positive sur un intervalle I si, pour tout x de I, f(x)≥0.
• Fonction négative : Négative sur un intervalle I si, pour tout x de I, f(x)≤0.
• Signe d’une fonction : Déterminer les intervalles où la fonction est positive et ceux où elle est négative.

📝 Points essentiels

• Un tableau de signes synthétise le signe d’une fonction selon les valeurs de x.

• Dans l’exemple représenté, f est positive sur [-1;2] et [4;5], et négative sur [-3;-1] et [2;4].

📖 2. Fonction et ensemble de définition

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction réelle : Procédé qui associe à tout réel x de D un unique réel noté f(x).
• Ensemble de définition : Ensemble des réels x qui admettent une image par f.

★ À maîtriser

📌 Si f(a)=b, alors b est l’image de a par f et a est un antécédent de b.

Compléments

• Chaque réel du domaine d’une fonction admet une seule image, tandis qu’un réel y peut avoir un ou plusieurs antécédents, ou aucun.

📖 3. Courbe représentative d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe représentative : Ensemble des points M de coordonnées (x ; f(x)) pour x dans le domaine de f.

📝 Points essentiels

• L’équation de la courbe représentative C_f est y=f(x).

📖 4. Résolutions graphiques

★ À maîtriser

• Résoudre graphiquement f(x)=k revient à déterminer les abscisses des intersections de C_f avec la droite d’équation y=k.

• Résoudre graphiquement f(x)=g(x) revient à déterminer les abscisses des points d’intersection de C_f et C_g.

• Résoudre graphiquement f(x)<k revient à déterminer les abscisses des points de C_f situés strictement sous la droite d’équation y=k.

Compléments

• Résoudre graphiquement f(x)≤g(x) revient à déterminer les abscisses des points de C_f situés en dessous de C_g.

💡 Astuce mémo

Une équation cherche les intersections ; une inéquation cherche les portions situées sous une droite ou une courbe.

📖 5. Variations d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction monotone : Croissante ou décroissante sur I.
• Croissance stricte : Une fonction f est strictement croissante sur I si, pour tous x,y∈I tels que x<y, f(x)<f(y), et elle est strictement décroissante si f(x)>f(y).

💡 Astuce mémo

Croissante : l’image monte quand x augmente ; décroissante : l’image descend.