Fiche de révision : Géométrie dans l’espace

📋 Plan du Cours

1. Conventions et représentations spatiales
2. Perspective cavalière
3. Axiomes et détermination
4. Positions relatives dans l’espace
5. Définitions et unicité du parallélisme
6. Parallélisme des droites et des plans

📖 1. Conventions et représentations spatiales

★ À maîtriser

📌 Une droite est une partie d’un plan et son inclusion dans ce plan se note a ⊂ α.

📌 Les surfaces et les solides sont considérés comme opaques : les traits visibles sont continus, les traits cachés discontinus et le contour apparent d’un solide est toujours continu.

• L’espace possède trois dimensions, la longueur, la largeur et la hauteur, tandis que sa représentation sur une feuille ou un écran est plane et possède deux dimensions.

Compléments

📌 Un point peut appartenir à une droite ou à un plan, ce qui se note respectivement A ∈ d et C ∈ α.

• Les droites de l’espace se représentent par des segments et se notent par des minuscules latines ou par deux lettres majuscules désignant deux points de la droite, par exemple d = AB.

• Les plans se représentent par des parallélogrammes et se notent par des minuscules grecques ou par les éléments qui les déterminent.

• Une même configuration spatiale peut avoir plusieurs représentations selon la position de l’observateur.

• Dans tout plan de l’espace, on peut utiliser les propriétés de la géométrie plane.

💡 Astuce mémo

Trait continu pour le visible, discontinu pour le caché

📖 2. Perspective cavalière

🔑 Notions clés & Définitions

• Perspective cavalière : Image d’un objet de l’espace obtenue par projection sur un plan parallèlement à une droite donnée.

★ À maîtriser

• Les faces frontales sont situées dans un plan frontal, parallèle au front de l’observateur, et sont représentées sans déformation, en vraie grandeur ou à l’échelle, avec leurs angles réels.

• Dans les faces fuyantes, les segments verticaux sont représentés verticaux et en vraie grandeur, tandis que les segments horizontaux sont représentés par des fuyantes de dimensions diminuées.

• La perspective cavalière conserve le parallélisme, la proportionnalité et le milieu, mais ne conserve pas l’orthogonalité.

Compléments

• Les quatre types de points de vue sont :

  • dessus-droite
  • dessus-gauche
  • dessous-droite
  • dessous-gauche

• En dessin technique, on précise : la direction des fuyantes, leur angle avec la ligne de terre ou l’horizon, leur échelle

• La perspective cavalière représente une droite par une droite.

💡 Astuce mémo

Face frontale en vraie grandeur, fuyante raccourcie

📖 3. Axiomes et détermination

★ À maîtriser

• Par deux points distincts de l’espace passe une unique droite.

• Par trois points distincts non alignés de l’espace passe un unique plan.

• Toute droite contenant deux points distincts d’un plan est incluse dans ce plan.

• Deux plans qui ont deux points en commun ont une droite en commun.

• Un plan est déterminé par : trois points distincts non alignés, deux droites sécantes, deux droites parallèles distinctes, une droite et un point qui ne lui appartient pas

Compléments

• Une droite de l’espace est déterminée par deux points distincts.

📖 4. Positions relatives dans l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Point de percée : Unique point d’intersection d’une droite sécante avec un plan.

📝 Points essentiels

• Deux droites coplanaires sont soit parallèles, confondues ou distinctes, soit sécantes ; deux droites non coplanaires sont gauches et n’ont aucun point commun.

• Deux droites parallèles confondues sont égales et leur intersection est cette droite, tandis que deux droites parallèles distinctes ont une intersection vide.

• Une droite et un plan sont parallèles si la droite est incluse dans le plan ou si leur intersection est vide ; ils sont sécants si leur intersection contient un unique point.

• Deux plans parallèles sont soit confondus, avec une intersection égale aux deux plans, soit distincts, avec une intersection vide ; deux plans sécants se coupent selon une droite.

📖 5. Définitions et unicité du parallélisme

🔑 Notions clés & Définitions

• Droites parallèles : Droites coplanaires et non sécantes, ou droites égales.
• Plans parallèles : Deux plans sont parallèles lorsque leur intersection est vide ou lorsqu’ils sont égaux.

📝 Points essentiels

📌 Par tout point de l’espace passe une unique droite parallèle à une droite donnée.

📌 Par tout point de l’espace passe un unique plan parallèle à un plan donné.

📖 6. Parallélisme des droites et des plans

★ À maîtriser

• Si deux droites a et b sont parallèles à une même droite d, alors a et b sont parallèles entre elles.

• Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite de ce plan.

• Si une droite est parallèle à un plan et partage avec lui un point, alors elle est incluse dans ce plan.

• Deux plans sont parallèles si et seulement si l’un contient deux droites sécantes parallèles à l’autre plan.

• Si deux plans α et β sont parallèles à un même troisième plan π, alors α et β sont parallèles entre eux.

• Si deux plans parallèles sont coupés par un troisième plan, leurs droites d’intersection sont parallèles.

Compléments

• Lorsque deux droites sont parallèles, tout plan qui coupe l’une coupe aussi l’autre.

• Si deux droites sont parallèles, tout plan parallèle à l’une est parallèle à l’autre.

• Si une droite est parallèle à deux plans sécants, elle est parallèle à leur droite d’intersection.