ax + by + c = 0
Explication
Une équation cartésienne de droite s’écrit sous la forme ax + by + c = 0. Les autres formes correspondent à un cercle ou à une condition géométrique différente.
c = -axA - byA
Explication
En remplaçant le point A dans l’équation de la droite, on obtient axA + byA + c = 0, donc c = -axA - byA. C’est le lien direct entre un point de la droite et son vecteur normal.
x² + y² + ax + by + c = 0
Explication
La forme x² + y² + ax + by + c = 0 est l’écriture générale d’un cercle, ou parfois d’un cas dégénéré. Les autres propositions décrivent une droite ou une condition orthogonale.
Un cercle, un ensemble vide ou un seul point
Explication
Après complétion des carrés, cette équation peut donner un cercle, un ensemble vide si le rayon carré est négatif, ou un seul point si le rayon carré vaut 0. Elle ne représente pas forcément un cercle “ordinaire”.
Résoudre simultanément les deux équations
Explication
L’intersection se trouve en résolvant le système formé par l’équation de la droite et celle du cercle. Il ne suffit pas de comparer les équations isolément.
x² + y² - 4x - 2y + 5/4 = 0
Explication
En développant (x - 2)² + (y - 1)² = 25/4, on obtient bien x² + y² - 4x - 2y + 5/4 = 0. Cette équation est ensuite résolue avec celle de la droite.
Un vecteur orthogonal à un vecteur directeur de la droite
Explication
Un vecteur normal est orthogonal à un vecteur directeur de la droite. Il sert précisément à écrire l’équation cartésienne de cette droite.
Une équation de la forme ax + by + c = 0
Explication
Si une droite a pour vecteur normal (a, b), alors son équation cartésienne peut s’écrire ax + by + c = 0. Les autres propositions concernent un cercle ou une relation non adaptée.
(x - a)² + (y - b)² = r²
Explication
La forme canonique d’un cercle fait apparaître directement son centre et son rayon : (x - a)² + (y - b)² = r². C’est la forme la plus utile pour lire ces deux informations.
Un cercle de centre (1, 2) et de rayon 1
Explication
Dans cette écriture, le centre est (1, 2) et le rayon vaut 1. C’est exactement la forme canonique d’un cercle.
MA · MB = 0
Explication
Pour le cercle de diamètre [AB], les vecteurs MA et MB sont orthogonaux, donc leur produit scalaire est nul. C’est la condition fondamentale du diamètre.
x² + y² - 5x - 7y + 12 = 0
Explication
En développant (x - 3)(x - 2) + (y - 1)(y - 6) = 0, on obtient x² + y² - 5x - 7y + 12 = 0. Cette forme provient directement de la condition MA · MB = 0.
Mémorisez les réponses avec 12 flashcards sur Géométrie des cercles et droites.
Équation cartésienne — définition ?
Représentation d'une droite par ax+by+c=0.
Vecteur normal — rôle ?
Orthogonal à la droite.
Forme générale d’un cercle — formule ?
x²+y²+ax+by+c=0.
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