Flashcards : Géométrie différentielle des courbes — 37 cartes

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1Question

Qu'est-ce que l'abscisse curviligne s ?

Réponse

C'est la coordonnée mesurant la longueur parcourue le long d'une courbe depuis un point initial.

2Question

Quelle formule exprime la longueur d'arc entre t_0 et t ?

Réponse

$s(t)=\int_{t_0}^{t}\|V(u)\|\,du=\int_{t_0}^{t}\sqrt{(x'(u))^2+(y'(u))^2}\,du$ .

3Question

Comment s'exprime l'élément infinitésimal de longueur d'arc ds ?

Réponse

$ds=\|V(t)\|dt$ .

4Question

Quelle est la norme de la vitesse pour la droite paramétrée par $M(t)=(t,2t)$ ?

Réponse

La norme de la vitesse est $\sqrt{5}$ .

5Question

Quelle est l'expression de l'abscisse curviligne s pour $M(t)=(t,2t)$ ?

Réponse

L'abscisse curviligne est $s=\sqrt{5}t$ .

6Question

Quelle est la longueur totale de la courbe pour $t\in[0,4]$ avec $M(t)=(t,2t)$ ?

Réponse

La longueur totale est $4\sqrt{5}$ .

7Question

Qu'est-ce que le vecteur tangent unitaire ?

Réponse

C'est le vecteur tangent à la courbe de norme 1.

8Question

Quelle formule exprime le vecteur tangent unitaire ?

Réponse

$t=\frac{dM}{ds}=\frac{V(t)}{\|V(t)\|}$

9Question

Que représente le vecteur tangent unitaire sur une courbe ?

Réponse

Il indique la direction de la courbe.

10Question

Quelle condition impose la reparamétrisation par la longueur d’arc ?

Réponse

$\left\|\frac{dM}{ds}\right\|=1$

11Question

Pour quelle courbe existe une reparamétrisation par la longueur d’arc ?

Réponse

Pour une courbe régulière.

12Question

Qu'est-ce que la courbure κ mesure sur une courbe ?

Réponse

La variation du vecteur tangent par unité de longueur d’arc.

13Question

Quelle formule exprime la courbure κ en fonction du vecteur tangent ?

Réponse

$\kappa=\left\|\frac{dt}{ds}\right\|$

14Question

Quelle est la formule de la courbure pour une courbe paramétrée régulière ?

Réponse

$\kappa=\frac{\|V(t)\wedge A(t)\|}{\|V(t)\|^3}$

15Question

Comment calcule-t-on la courbure d'une courbe plane donnée par $y=f(x)$ ?

Réponse

$\kappa=\frac{|f''(x)|}{(1+f'(x)^2)^{3/2}}$

16Question

Quelle est la formule de la décomposition de l'accélération ?

Réponse

$A(t)=\frac{d\|V(t)\|}{dt}t+\kappa\|V(t)\|^2n$

17Question

Quelles composantes comprend l'accélération selon sa décomposition ?

Réponse

Une composante tangentielle et une composante normale.

18Question

Un mouvement uniforme peut-il avoir une accélération non nulle ?

Réponse

Oui, s'il suit une trajectoire courbe.

19Question

Dans quel cas un point se déplace-t-il à vitesse constante sur un cercle ?

Réponse

Lors d'un mouvement uniforme sur une trajectoire circulaire de rayon R.

20Question

Que vaut la courbure pour une trajectoire rectiligne ?

Réponse

La courbure est nulle.

21Question

Quelle composante d'accélération existe pour une trajectoire rectiligne ?

Réponse

L'accélération ne possède qu'une composante tangentielle.

22Question

Qu'est-ce que le repère de Frénet ?

Réponse

Un trièdre mobile formé par les vecteurs tangent, normal et binormal.

23Question

Comment s'exprime le vecteur normal dans le repère de Frénet ?

Réponse

$n=\frac{t'}{\kappa}$

24Question

Comment se définit le vecteur binormal dans le repère de Frénet ?

Réponse

$b = t \wedge n$

25Question

Quelle est la relation entre la courbure $\kappa$ et le rayon de courbure $R$ ?

Réponse

$\kappa = \frac{1}{R}$

26Question

Quelles sont les équations de Frénet pour une courbe de vitesse unitaire ?

Réponse

$t' = \kappa n$ , $n' = -\kappa t + \tau b$ et $b' = -\tau n$ .

27Question

Comment est définie la torsion $\tau$ d'une courbe ?

Réponse

Par la relation $b' = -\tau n$ .

28Question

Quels signes la torsion $\tau$ peut-elle prendre ?

Réponse

Elle peut être positive, négative ou nulle.

29Question

Pourquoi une courbe plane a-t-elle une torsion nulle ?

Réponse

Parce que son vecteur binormal est constant.

30Question

Quelles sont les équations de Frénet pour une courbe à vitesse non unitaire ?

Réponse

$\frac{dt}{dt} = \kappa V n$ , $\frac{dn}{dt} = -\kappa V t + \tau V b$ et $\frac{db}{dt} = -\tau V n$ avec $V = \|M'(t)\|$ .

31Question

Comment calcule-t-on le vecteur tangent $t$ d'une courbe régulière $M(t)$ ?

Réponse

$t=\frac{M'}{\|M'\|}$

32Question

Quelle formule donne le vecteur binormal $b$ d'une courbe régulière $M(t)$ ?

Réponse

$b=\frac{M'\wedge M''}{\|M'\wedge M''\|}$

33Question

Comment obtient-on le vecteur normal $n$ à partir de $b$ et $t$ ?

Réponse

$n=b\wedge t$

34Question

Quelle est la formule de la courbure $\kappa$ d'une courbe régulière $M(t)$ ?

Réponse

$\kappa=\frac{\|M'\wedge M''\|}{\|M'\|^3}$

35Question

Comment calcule-t-on la torsion $\tau$ d'une courbe régulière $M(t)$ ?

Réponse

$\tau=\frac{(M'\wedge M'')\cdot M'''}{\|M'\wedge M''\|^2}$

36Question

Quelle est la valeur de la courbure $\kappa$ pour la courbe $M(t)=(3t-t^3,3t^2,3t+t^3)$ en $t=1$ ?

Réponse

$\kappa=\frac{1}{12}$

37Question

Quelle est la valeur de la torsion $\tau$ pour la courbe $M(t)=(3t-t^3,3t^2,3t+t^3)$ en $t=1$ ?

Réponse

$\tau=\frac{1}{12}$

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 14 questions sur Géométrie différentielle des courbes.

1. Que représente l’abscisse curviligne $s$ d’une courbe ?

2. Pour une courbe paramétrée de vitesse $V(t)$ , quelle relation permet de calculer la longueur d’arc entre $t_0$ et $t_1$ ?

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