Fiche de révision : Géométrie différentielle des courbes

📋 Plan du Cours

1. Paramétrage par longueur d’arc
2. Vecteur tangent unitaire
3. Courbure et vecteur normal
4. Décomposition de l’accélération
5. Repère mobile de Frénet
6. Équations de Frénet
7. Calculs sur une courbe paramétrée

📖 1. Paramétrage par longueur d’arc

🔑 Notions clés & Définitions

• Abscisse curviligne : Coordonnée mesurant la longueur parcourue le long d’une courbe à partir d’un point initial.

★ À maîtriser

📐 Formule — La longueur d’arc entre les paramètres t_0 et t_1 vérifie $s(t)=\int_{t_0}^{t}\|V(u)\|\,du=\int_{t_0}^{t}\sqrt{(x'(u))^2+(y'(u))^2}\,du$ et $ds=\|V(t)\|dt$.

Compléments

• Pour la droite paramétrée par $M(t)=(t,2t)$ avec $t\in[0{,}4]$, la vitesse vaut $\|V(t)\|=\sqrt{5}$, donc $s=\sqrt{5}t$ et la longueur totale est $4\sqrt{5}$.

💡 Astuce mémo

Paramétrage par longueur d’arc → vitesse unitaire

📖 2. Vecteur tangent unitaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur tangent unitaire : $t=\frac{dM}{ds}=\frac{V(t)}{\|V(t)\|}$ et indique la direction de la courbe avec une norme égale à 1.

📝 Points essentiels

📌 Pour une courbe régulière, il existe une reparamétrisation par la longueur d’arc telle que $\left\|\frac{dM}{ds}\right\|=1$.

📖 3. Courbure et vecteur normal

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbure : Mesure la variation du vecteur tangent par unité de longueur d’arc et vérifie $\kappa=\left\|\frac{dt}{ds}\right\|$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une courbe paramétrée régulière, la courbure vaut $\kappa=\frac{\|V(t)\wedge A(t)\|}{\|V(t)\|^3}$.

Compléments

📐 Formule — Pour une courbe plane donnée par $y=f(x)$, la courbure vaut $\kappa=\frac{|f''(x)|}{(1+f'(x)^2)^{3/2}}$.

💡 Astuce mémo

Tangente : direction du mouvement ; normale : direction du virage

📖 4. Décomposition de l’accélération

★ À maîtriser

📐 Formule — L’accélération se décompose selon $A(t)=\frac{d\|V(t)\|}{dt}t+\kappa\|V(t)\|^2n$, avec une composante tangentielle et une composante normale.

• Un mouvement uniforme peut avoir une accélération non nulle lorsqu’il suit une trajectoire courbe, comme un point se déplaçant à vitesse constante sur un cercle de rayon R.

Compléments

• Pour une trajectoire rectiligne, la courbure est nulle et l’accélération ne possède qu’une composante tangentielle.

💡 Astuce mémo

Accélération tangentielle : variation de vitesse ; normale : changement de direction

📖 5. Repère mobile de Frénet

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère de Frénet : Trièdre mobile formé par les vecteurs tangent t, normal n et binormal b, mutuellement orthogonaux et constituant une base lorsque la courbure est positive.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le vecteur normal est $n=\frac{t'}{\kappa}$ et le vecteur binormal est $b=t\wedge n$.

Compléments

• La courbure est l’inverse du rayon de courbure R, soit $\kappa=\frac{1}{R}$.

💡 Astuce mémo

Tangente → normale → binormale

📖 6. Équations de Frénet

🔑 Notions clés & Définitions

• Torsion : Fonction définie par $b'=-\tau n$ et pouvant être positive, négative ou nulle.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une courbe de vitesse unitaire, les équations de Frénet sont $t'=\kappa n$, $n'=-\kappa t+\tau b$ et $b'=-\tau n$.

Compléments

• Une courbe plane a toujours une torsion nulle, car son vecteur binormal est constant.

📐 Formule — Pour une courbe paramétrée à vitesse non unitaire, les équations de Frénet deviennent $\frac{dt}{dt}=\kappa Vn$, $\frac{dn}{dt}=-\kappa Vt+\tau Vb$ et $\frac{db}{dt}=-\tau Vn$, où $V=\|M'(t)\|$.

📖 7. Calculs sur une courbe paramétrée

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une courbe régulière M(t), les vecteurs de Frénet se calculent par $t=\frac{M'}{\|M'\|}$, $b=\frac{M'\wedge M''}{\|M'\wedge M''\|}$ et $n=b\wedge t$.

📐 Formule — Pour une courbe régulière M(t), la courbure et la torsion vérifient $\kappa=\frac{\|M'\wedge M''\|}{\|M'\|^3}$ et $\tau=\frac{(M'\wedge M'')\cdot M'''}{\|M'\wedge M''\|^2}$.

Compléments

• Pour la courbe $M(t)=(3t-t^3{,}3t^2{,}3t+t^3)$ au point t=1, on obtient $\kappa=\frac{1}{12}$ et $\tau=\frac{1}{12}$.

📊 Tableaux de synthèse

Repères et grandeurs géométriques