QCM : Géométrie différentielle des courbes — 14 questions

Questions et réponses du QCM

1. Que représente l’abscisse curviligne ss d’une courbe ?

La distance entre deux points mesurée sur une droite
La valeur du paramètre décrivant le parcours choisi
La longueur parcourue le long de la courbe depuis un point initial
La durée nécessaire pour atteindre un point de la courbe

La longueur parcourue le long de la courbe depuis un point initial

Explication

L’abscisse curviligne mesure la longueur effectivement parcourue le long de la courbe à partir d’un point initial. Le paramètre décrit le parcours choisi, mais sa valeur ne constitue pas directement une distance.

2. Pour une courbe paramétrée de vitesse V(t)V(t), quelle relation permet de calculer la longueur d’arc entre t0t_0 et t1t_1 ?

s(t1)=∫t0t11∥V(u)∥ dus(t_1)=\int_{t_0}^{t_1}\frac{1}{\|V(u)\|}\,du
s(t1)=∫t0t1V(u) dus(t_1)=\int_{t_0}^{t_1}V(u)\,du
s(t1)=∫t0t1∥V(u)∥2 dus(t_1)=\int_{t_0}^{t_1}\|V(u)\|^2\,du
s(t1)=∫t0t1∥V(u)∥ dus(t_1)=\int_{t_0}^{t_1}\|V(u)\|\,du

$$s(t_1)=\int_{t_0}^{t_1}\|V(u)\|\,du$$

Explication

La longueur d’arc s’obtient en intégrant la norme de la vitesse, car ds=∥V(t)∥dtds=\|V(t)\|dt. Intégrer directement le vecteur vitesse ou une autre puissance de sa norme ne donne pas la longueur parcourue.

3. Quelle expression définit le vecteur tangent unitaire d’une courbe régulière ?

t=V(t) ∥V(t)∥=dMdst=V(t)\,\|V(t)\|=\frac{dM}{ds}
t=V(t)∥V(t)∥2=dMdtt=\frac{V(t)}{\|V(t)\|^2}=\frac{dM}{dt}
t=dVdt=dMdst=\frac{dV}{dt}=\frac{dM}{ds}
t=V(t)∥V(t)∥=dMdst=\frac{V(t)}{\|V(t)\|}=\frac{dM}{ds}

$$t=\frac{V(t)}{\|V(t)\|}=\frac{dM}{ds}$$

Explication

Le vecteur tangent unitaire s’obtient en normalisant le vecteur vitesse, ce qui donne aussi dMds\frac{dM}{ds}. Sa norme vaut donc 1, contrairement à celle de la vitesse, qui dépend du paramétrage.

4. Que garantit une reparamétrisation par longueur d’arc d’une courbe régulière ?

La courbure de la courbe devient égale à 1
La norme de dMds\frac{dM}{ds} devient égale à 1
La vitesse par rapport au temps devient égale à 1
La trajectoire devient une droite parcourue à vitesse constante

La norme de $$\frac{dM}{ds}$$ devient égale à 1

Explication

Avec la longueur d’arc comme paramètre, on a ∥dMds∥=1\left\|\frac{dM}{ds}\right\|=1, ce qui correspond à une vitesse unitaire par rapport à ss. Une paramétrisation quelconque peut toutefois avoir une vitesse de norme différente de 1.

5. Que mesure la courbure κ\kappa d’une courbe ?

La variation de la vitesse par unité de temps
Le déplacement de la courbe par unité de temps
La longueur totale parcourue entre deux paramètres
La variation du vecteur tangent par unité de longueur d’arc

La variation du vecteur tangent par unité de longueur d’arc

Explication

La courbure quantifie le changement de direction du vecteur tangent lorsqu’on avance le long de la courbe, selon κ=∥dtds∥\kappa=\left\|\frac{dt}{ds}\right\|. La vitesse décrit plutôt le déplacement par unité de temps.

6. Pour une courbe paramétrée régulière, quelle formule donne sa courbure à partir de la vitesse V(t)V(t) et de l’accélération A(t)A(t) ?

κ=∥V(t)∥3∥V(t)∧A(t)∥\kappa=\frac{\|V(t)\|^3}{\|V(t)\wedge A(t)\|}
κ=∥V(t)∧A(t)∥∥V(t)∥3\kappa=\frac{\|V(t)\wedge A(t)\|}{\|V(t)\|^3}
κ=∥V(t)∧A(t)∥∥V(t)∥2\kappa=\frac{\|V(t)\wedge A(t)\|}{\|V(t)\|^2}
κ=∥V(t)+A(t)∥∥V(t)∥3\kappa=\frac{\|V(t)+A(t)\|}{\|V(t)\|^3}

$$\kappa=\frac{\|V(t)\wedge A(t)\|}{\|V(t)\|^3}$$

Explication

La courbure est donnée par le quotient de la norme du produit vectoriel entre vitesse et accélération par le cube de la norme de la vitesse. La somme de ces vecteurs ne mesure pas le changement de direction requis.

7. Dans la décomposition de l’accélération, quelle composante modifie principalement la direction du mouvement ?

La composante tangentielle, dirigée selon le vecteur tangent à la trajectoire
La composante tangentielle, dirigée selon le vecteur binormal à la trajectoire
La composante normale, dirigée selon le vecteur normal à la trajectoire
La composante normale, dirigée selon le vecteur tangent à la trajectoire

La composante normale, dirigée selon le vecteur normal à la trajectoire

Explication

La composante normale agit perpendiculairement à la vitesse et modifie donc la direction du mouvement. La composante tangentielle change plutôt la norme de la vitesse, et non sa direction.

8. Comment un mouvement à vitesse constante peut-il néanmoins posséder une accélération non nulle ?

Lorsque sa trajectoire est rectiligne et que sa position initiale est non nulle
Lorsque sa trajectoire est immobile et que son rayon de courbure augmente
Lorsque sa trajectoire est courbe, comme un cercle parcouru à vitesse constante
Lorsque sa vitesse constante est mesurée dans un repère cartésien mobile

Lorsque sa trajectoire est courbe, comme un cercle parcouru à vitesse constante

Explication

Une trajectoire courbe impose une variation de la direction du vecteur vitesse, ce qui produit une accélération normale même lorsque sa norme reste constante. Une trajectoire rectiligne à vitesse constante ne présente pas cette variation de direction.

9. Dans quelles conditions les vecteurs tangent, normal et binormal forment-ils une base du repère de Frénet ?

Lorsqu’ils sont tous coplanaires et que la vitesse est constante
Lorsqu’ils sont mutuellement orthogonaux et que la courbure est positive
Lorsqu’ils sont parallèles et que la torsion est nulle
Lorsqu’ils sont définis par des axes cartésiens fixes et perpendiculaires

Lorsqu’ils sont mutuellement orthogonaux et que la courbure est positive

Explication

Le repère de Frénet est constitué de trois vecteurs mutuellement orthogonaux et forme une base lorsque la courbure est positive. Les coordonnées cartésiennes, elles, sont liées à des axes fixes plutôt qu’à la géométrie locale de la courbe.

10. Quelle relation décrit correctement le vecteur normal et le vecteur binormal du repère de Frénet ?

n=t′κn=\frac{t'}{\kappa} et b=t∧nb=t\wedge n
n=κt′n=\kappa t' et b=n∧t′b=n\wedge t'
n=b′τn=\frac{b'}{\tau} et b=t′∧nb=t'\wedge n
n=tκn=\frac{t}{\kappa} et b=t′∧b′b=t'\wedge b'

$$n=\frac{t'}{\kappa}$$ et $$b=t\wedge n$$

Explication

Le vecteur normal est obtenu en normalisant t′t' par la courbure, tandis que le binormal est le produit vectoriel de tt et nn. Le binormal est donc perpendiculaire à ces deux vecteurs.

11. Dans les équations de Frénet d’une courbe à vitesse unitaire, quelle équation fait intervenir directement la courbure ?

n′=−τt+κbn'=-\tau t+\kappa b
t′=−τbt'=-\tau b
b′=−κnb'=-\kappa n
t′=κnt'=\kappa n

$$t'=\kappa n$$

Explication

Pour une courbe à vitesse unitaire, la dérivée du vecteur tangent vérifie t′=κnt'=\kappa n. La torsion intervient plutôt dans les composantes selon b′b' et dans la composante binormale de n′n'.

12. Quelle propriété caractérise la torsion d’une courbe dans le repère de Frénet ?

Elle est définie par n′=−τtn'=-\tau t et mesure l’inverse du rayon de courbure
Elle est définie par b′=τtb'=\tau t et ne peut prendre que des valeurs non nulles
Elle est définie par b′=−τnb'=-\tau n et peut être positive, négative ou nulle
Elle est définie par t′=τnt'=\tau n et reste positive lorsque la courbure existe

Elle est définie par $$b'=-\tau n$$ et peut être positive, négative ou nulle

Explication

La torsion est définie par la relation b′=−τnb'=-\tau n et son signe peut être positif, négatif ou nul. Elle se distingue ainsi de la courbure, qui est prise strictement positive dans le repère de Frénet considéré.

13. Quelle expression définit le vecteur tangent unitaire d’une courbe régulière M(t)M(t) ?

t=M′⋅M′′∥M′∥2t=\frac{M'\cdot M''}{\|M'\|^2}
t=M′∧M′′∥M′∧M′′∥t=\frac{M'\wedge M''}{\|M'\wedge M''\|}
t=M′∥M′∥t=\frac{M'}{\|M'\|}
t=M′′∥M′′∥t=\frac{M''}{\|M''\|}

$$t=\frac{M'}{\|M'\|}$$

Explication

Le vecteur tangent unitaire s’obtient en normalisant le vecteur dérivé M′M' par sa norme. Le produit vectoriel M′∧M′′M'\wedge M'' intervient dans la construction du binormal, et non dans celle du tangent.

14. Pour une courbe régulière dont les dérivées vérifient ∥M′∥=2\|M'\|=2, ∥M′∧M′′∥=6\|M'\wedge M''\|=6 et (M′∧M′′)⋅M′′′=12(M'\wedge M'')\cdot M'''=12, quelles sont la courbure et la torsion ?

κ=34\kappa=\frac{3}{4} et τ=13\tau=\frac{1}{3}
κ=32\kappa=\frac{3}{2} et τ=16\tau=\frac{1}{6}
κ=13\kappa=\frac{1}{3} et τ=34\tau=\frac{3}{4}
κ=12\kappa=\frac{1}{2} et τ=2\tau=2

$$\kappa=\frac{3}{4}$$ et $$\tau=\frac{1}{3}$$

Explication

La courbure vaut κ=623=34\kappa=\frac{6}{2^3}=\frac{3}{4} et la torsion vaut τ=1262=13\tau=\frac{12}{6^2}=\frac{1}{3}. La confusion fréquente consiste à associer le produit scalaire avec M′′′M''' à la courbure, alors qu’il intervient dans la formule de la torsion.

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Qu'est-ce que l'abscisse curviligne s ?

C'est la coordonnée mesurant la longueur parcourue le long d'une courbe depuis un point initial.

Quelle formule exprime la longueur d'arc entre t_0 et t ?

s(t)=∫t0t∥V(u)∥ du=∫t0t(x′(u))2+(y′(u))2 dus(t)=\int_{t_0}^{t}\|V(u)\|\,du=\int_{t_0}^{t}\sqrt{(x'(u))^2+(y'(u))^2}\,du.

Comment s'exprime l'élément infinitésimal de longueur d'arc ds ?

ds=∥V(t)∥dtds=\|V(t)\|dt.

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