Géométrie différentielle des courbes

📋 Plan du Cours

1. Paramétrage par longueur d’arc
2. Vecteur tangent unitaire
3. Courbure et vecteur normal
4. Décomposition de l’accélération
5. Repère mobile de Frénet
6. Équations de Frénet
7. Calculs sur une courbe paramétrée

📖 1. Paramétrage par longueur d’arc

🔑 Notions clés & Définitions

• Abscisse curviligne : Coordonnée mesurant la longueur parcourue le long d’une courbe à partir d’un point initial.

★ À maîtriser

📐 Formule — La longueur d’arc entre les paramètres t_0 et t_1 vérifie $s(t)=\int_{t_0}^{t}\|V(u)\|\,du=\int_{t_0}^{t}\sqrt{(x'(u))^2+(y'(u))^2}\,du$ et $ds=\|V(t)\|dt$.

Compléments

• Pour la droite paramétrée par $M(t)=(t,2t)$ avec $t\in[0{,}4]$, la vitesse vaut $\|V(t)\|=\sqrt{5}$, donc $s=\sqrt{5}t$ et la longueur totale est $4\sqrt{5}$.

💡 Astuce mémo

Paramétrage par longueur d’arc → vitesse unitaire

📖 2. Vecteur tangent unitaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur tangent unitaire : $t=\frac{dM}{ds}=\frac{V(t)}{\|V(t)\|}$ et indique la direction de la courbe avec une norme égale à 1.

📝 Points essentiels

📌 Pour une courbe régulière, il existe une reparamétrisation par la longueur d’arc telle que $\left\|\frac{dM}{ds}\right\|=1$.