Fiche de révision : Géométrie élémentaire du plan

📋 Plan du Cours

1. Repérage et coordonnées dans le plan
2. Barycentres de points pondérés
3. Produit scalaire et orthogonalité
4. Déterminant et colinéarité
5. Droites et projections orthogonales
6. Cercles du plan

📖 1. Repérage et coordonnées dans le plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère orthonormé : Triplet $(O,\vec i,\vec j)$ constitué d’un point $O$ et de deux vecteurs orthogonaux de norme 1.
• Coordonnées cartésiennes : Sont définies par $\overrightarrow{OM}=x\vec i+y\vec j$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour deux points $A(x_A,y_A)$ et $B(x_B,y_B)$, on a $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A),\quad AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2},\quad I=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right).$

Compléments

📐 Formule — Lors d’un changement d’origine de $O$ vers $\Omega(a,b)$, les coordonnées $(x,y)$ d’un point dans le premier repère et $(X,Y)$ dans le second vérifient $x=X+a,\quad y=Y+b.$

💡 Astuce mémo

Repère → coordonnées → vecteurs → distances → changement d’origine

📖 2. Barycentres de points pondérés

🔑 Notions clés & Définitions

• Barycentre : D’un système de points pondérés $((A_1,\alpha_1),\ldots,(A_n,\alpha_n))$, avec une somme des coefficients non nulle, est l’unique point $G$ vérifiant $\alpha_1\overrightarrow{GA_1}+\cdots+\alpha_n\overrightarrow{GA_n}=\vec 0.$

📝 Points essentiels

📌 Lorsque tous les coefficients du système de points pondérés sont égaux à 1, le barycentre est appelé isobarycentre.

📐 Formule — Dans un repère, les coordonnées du barycentre sont $G\left(\frac{\sum_{i=1}^n\alpha_i x_i}{\sum_{i=1}^n\alpha_i},\frac{\sum_{i=1}^n\alpha_i y_i}{\sum_{i=1}^n\alpha_i}\right).$

💡 Astuce mémo

Pondération des points → position moyenne du barycentre

📖 3. Produit scalaire et orthogonalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Défini par $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\|\vec v\|\cos(\vec u,\vec v),$ et il vaut 0 si l’un des deux vecteurs est nul.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans une base orthonormée, si $\vec u=(x,y)$ et $\vec v=(x',y')$, alors $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'.$

📌 Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul, c’est-à-dire $\vec u\perp\vec v\Longleftrightarrow\vec u\cdot\vec v=0.$

Compléments

📐 Formule — Pour deux vecteurs non nuls, l’angle géométrique vérifie $\cos(\vec u,\vec v)=\frac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|}.$

💡 Astuce mémo

Produit scalaire nul : orthogonalité ; déterminant nul : colinéarité

📖 4. Déterminant et colinéarité

🔑 Notions clés & Définitions

• Déterminant : Défini par $\det(\vec u,\vec v)=\|\vec u\|\|\vec v\|\sin(\vec u,\vec v),$ et il vaut 0 si l’un des deux vecteurs est nul.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans une base orthonormée directe, si $\vec u=(x,y)$ et $\vec v=(x',y')$, alors $\det(\vec u,\vec v)=xy'-yx'.$

📌 Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.

Compléments

📌 La valeur absolue du déterminant de deux côtés d’un parallélogramme est égale à l’aire de ce parallélogramme.

💡 Astuce mémo

Le déterminant mesure l’aire orientée du parallélogramme

📖 5. Droites et projections orthogonales

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite dirigée : L’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}$ et $\vec u$ soient colinéaires.
• Projection orthogonale : Le projeté orthogonal $H$ d’un point $A$ sur une droite $\Delta$ est l’intersection de $\Delta$ avec l’unique droite perpendiculaire à $\Delta$ passant par $A$; la distance de $A$ à $\Delta$ est la longueur $AH$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Toute droite possède une équation cartésienne $ax+by+c=0,$ avec $(a,b)\neq(0{,}0)$; $(a,b)$ est un vecteur normal et $(-b,a)$ est un vecteur directeur.

📐 Formule — La droite passant par $A(x_A,y_A)$ et de vecteur directeur $\vec u=(x_u,y_u)$ admet le paramétrage $x=x_A+tx_u,\quad y=y_A+ty_u,\quad t\in\mathbb R.$

💡 Astuce mémo

Point-directeur → équation → paramétrage → projection → distance

📖 6. Cercles du plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle : L’ensemble des points $M$ tels que $\Omega M=r$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $\Omega(x_\Omega,y_\Omega)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x-x_\Omega)^2+(y-y_\Omega)^2=r^2.$

Compléments

📐 Formule — Un paramétrage du cercle de centre $\Omega(x_\Omega,y_\Omega)$ et de rayon $r$ est $x=x_\Omega+r\cos(t),\quad y=y_\Omega+r\sin(t),\quad t\in\mathbb R.$

💡 Astuce mémo

Un centre fixe et un rayon constant dessinent le cercle

📊 Tableaux de synthèse

Produit scalaire et déterminant