Fiche de révision : Géométrie et vecteurs

📋 Plan du Cours

1. Définition et propriétés des vecteurs
2. Somme géométrique des vecteurs
3. Multiplication par un scalaire
4. Produit scalaire et orthogonalité
5. Bases cartésiennes du plan
6. Coordonnées et opérations planaires
7. Repères cartésiens et points
8. Bases et repères de l’espace
9. Produit vectoriel dans l’espace
10. Angles orientés et applications
11. Généralisation des coordonnées

📖 1. Définition et propriétés des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Objet représenté géométriquement par une flèche caractérisée par une norme, une direction et un sens.
• Norme d’un vecteur : Longueur, elle est positive ou nulle et se note $\|\vec u\| \geq 0$.
• Vecteur nul : Vecteur de longueur nulle, sans direction ni sens, et il vérifie $\vec 0=\overrightarrow{AA}$.

★ À maîtriser

📌 Deux vecteurs sont colinéaires s’ils ont la même direction, même si leur norme ou leur sens peuvent différer.

Compléments

• Le vecteur poids $\vec P$ est vertical, dirigé vers le bas, et sa norme vaut $P=mg$ avec $g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$.

💡 Astuce mémo

NDS : norme, direction, sens

📖 2. Somme géométrique des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme de vecteurs : La somme de deux vecteurs se construit en plaçant le second à l’extrémité du premier, puis en reliant l’origine du premier à l’extrémité du second.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La relation de Chasles s’écrit $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

📌 Un vecteur peut être déplacé parallèlement sans changer de valeur, car son origine n’est pas une donnée mathématique du vecteur.

📐 Formule — L’inégalité triangulaire affirme que $\|\vec u+\vec v\|\leq\|\vec u\|+\|\vec v\|$, avec égalité lorsque les vecteurs sont colinéaires et de même sens.

💡 Astuce mémo

A → B → C donne A → C

📖 3. Multiplication par un scalaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiplication scalaire : Pour un scalaire $\lambda$, le vecteur est colinéaire à $\vec u$, sa norme vaut $\|\lambda\vec u\|=|\lambda|\|\vec u\|$ et son sens dépend du signe de $\lambda$.
• Vecteur unitaire : Vecteur de norme 1.

★ À maîtriser

📐 Formule — L’opposé d’un vecteur vérifie $-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}$ et possède la même direction et la même norme, mais le sens opposé.

📐 Formule — Pour un vecteur non nul, sa normalisation est $N(\vec u)=\frac{1}{\|\vec u\|}\vec u$ et produit un vecteur unitaire de même direction et de même sens.

Compléments

📐 Formule — La multiplication scalaire vérifie l’associativité $\lambda(\mu\vec u)=(\lambda\mu)\vec u$ et les distributivités $\lambda(\vec u+\vec v)=\lambda\vec u+\lambda\vec v$ et $(\lambda+\mu)\vec u=\lambda\vec u+\mu\vec u$.

💡 Astuce mémo

Scalaire positif : même sens ; scalaire négatif : sens opposé

📖 4. Produit scalaire et orthogonalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Nombre $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\|\vec v\|\cos(\widehat{\vec u,\vec v})$.

★ À maîtriser

📌 Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul, c’est-à-dire $\vec u\perp\vec v\Longleftrightarrow\vec u\cdot\vec v=0$.

📐 Formule — La norme d’un vecteur vérifie $\|\vec u\|=\sqrt{\vec u\cdot\vec u}$.

Compléments

📐 Formule — Le théorème de Pythagore vectoriel s’écrit $\vec u\perp\vec v\Longleftrightarrow\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2$.

💡 Astuce mémo

Angle droit → cosinus nul → produit scalaire nul

📖 5. Bases cartésiennes du plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Base cartésienne : Paire de vecteurs unitaires et orthogonaux $\left(\vec i,\vec j\right)$ vérifiant $\|\vec i\|=\|\vec j\|=1$ et $\vec i\cdot\vec j=0$.
• Base cartésienne directe : Base cartésienne telle que l’angle orienté de $\vec i$ vers $\vec j$ vaut $+90^\circ$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Dans une base cartésienne, tout vecteur s’écrit de manière unique $\vec u=x\vec i+y\vec j$ avec $x=\vec u\cdot\vec i$ et $y=\vec u\cdot\vec j$.

💡 Astuce mémo

ON : orthogonale et normée

📖 6. Coordonnées et opérations planaires

★ À maîtriser

📐 Formule — Si $\vec u_1=(x_1;y_1)$ et $\vec u_2=(x_2;y_2)$, alors $\vec u_1+\vec u_2=(x_1+x_2;y_1+y_2)$.

📐 Formule — Pour $\vec u_1=(x_1;y_1)$ et $\vec u_2=(x_2;y_2)$, leur produit scalaire vaut $\vec u_1\cdot\vec u_2=x_1x_2+y_1y_2$.

📐 Formule — La norme d’un vecteur de coordonnées $\vec u=(x;y)$ vaut $\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}$.

Compléments

• Un vecteur de norme 3 faisant un angle de 30 degrés avec $\vec i$ a pour coordonnées $\left(\frac{3\sqrt3}{2};\frac32\right)$.

💡 Astuce mémo

Sommer, multiplier, scalariser, normer

📖 7. Repères cartésiens et points

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère cartésien : Constitué d’une origine $O$ et d’une base cartésienne, noté $\left(O,\vec i,\vec j\right)$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans un repère cartésien, si $A=(x_A;y_A)$ et $B=(x_B;y_B)$, alors $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)$.

📌 Un point ne s’additionne ni ne se multiplie comme un vecteur ; on peut notamment calculer le vecteur déplacement entre deux points.

Compléments

• Les coordonnées d’un point s’écrivent généralement horizontalement, par exemple $A(2;3)$, tandis que celles d’un vecteur peuvent être écrites comme une combinaison de la base ou en colonne.

💡 Astuce mémo

Base = vecteurs ; repère = origine + base

📖 8. Bases et repères de l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Base cartésienne de l’espace : Constituée de trois vecteurs unitaires deux à deux orthogonaux $\left(\vec i,\vec j,\vec k\right)$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Tout vecteur de l’espace se décompose de manière unique selon $\vec u=x\vec i+y\vec j+z\vec k$, avec $x=\vec u\cdot\vec i$, $y=\vec u\cdot\vec j$ et $z=\vec u\cdot\vec k$.

📐 Formule — Dans l’espace, si $\vec u_1=(x_1;y_1;z_1)$ et $\vec u_2=(x_2;y_2;z_2)$, alors $\vec u_1\cdot\vec u_2=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$ et $\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

💡 Astuce mémo

Le trièdre i, j, k avec k vertical

📖 9. Produit vectoriel dans l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit vectoriel : Nul si les vecteurs sont colinéaires ; sinon il est perpendiculaire aux deux vecteurs, orienté pour que $\left(\vec u,\vec v,\vec u\wedge\vec v\right)$ soit direct, et sa norme vaut $\|\vec u\|\|\vec v\||\sin(\widehat{\vec u,\vec v})|$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans une base directe, on a $\vec i\wedge\vec j=\vec k$, $\vec j\wedge\vec k=\vec i$ et $\vec k\wedge\vec i=\vec j$.

📐 Formule — Pour $\vec u_1=(x_1;y_1;z_1)$ et $\vec u_2=(x_2;y_2;z_2)$, le produit vectoriel a pour coordonnées $(y_1z_2-y_2z_1;x_2z_1-x_1z_2;x_1y_2-x_2y_1)$.

Compléments

• Le produit vectoriel peut servir à calculer l’aire d’un parallélogramme, vérifier la colinéarité, déterminer une normale ou modéliser la force magnétique $\vec F=q\vec v\wedge\vec B$.

💡 Astuce mémo

i ∧ j = k, j ∧ k = i, k ∧ i = j

📖 10. Angles orientés et applications

🔑 Notions clés & Définitions

• Angle orienté : Positif dans le sens inverse des aiguilles d’une montre et négatif dans le sens des aiguilles d’une montre.
• Orientation d’un plan : Choisir un vecteur non nul $\vec n$ orthogonal au plan.

★ À maîtriser

📌 Dans un plan orienté par $\vec n$, l’angle de $\vec u_1$ vers $\vec u_2$ est positif si $\vec u_1\wedge\vec u_2$ a le même sens que $\vec n$ et négatif s’il a le sens contraire.

📐 Formule — Dans une base cartésienne directe du plan, le signe de l’angle orienté de $\vec u_1=(x_1;y_1)$ vers $\vec u_2=(x_2;y_2)$ est celui de $x_1y_2-x_2y_1$.

Compléments

📐 Formule — Le produit vectoriel planifié vérifie $\vec u_1\wedge\vec u_2=\|\vec u_1\|\|\vec u_2\|\sin(\widehat{\vec u_1,\vec u_2})\vec k$ dans une base directe orientée par $\vec k$.

💡 Astuce mémo

Produit vectoriel orienté → signe de l’angle

📖 11. Généralisation des coordonnées

📝 Points essentiels

• Les coordonnées d’un vecteur colonne peuvent être munies d’une addition et d’une multiplication scalaire correspondant aux opérations des vecteurs géométriques.

📊 Tableaux de synthèse

Base et repère cartésiens