Fiche de révision : Géométrie, fonctions et statistiques

📋 Plan du Cours

1. Droites remarquables du triangle
2. Thalès et trigonométrie
3. Translations et vecteurs
4. Opérations vectorielles et milieux
5. Repérage et fonctions affines
6. Calcul numérique et équations
7. Statistiques descriptives

📖 1. Droites remarquables du triangle

📝 Points essentiels

📌 Dans un triangle, la droite joignant les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.

📌 Dans un triangle, une droite passant par le milieu d’un côté et parallèle à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu.

💡 Astuce mémo

Joindre deux milieux donne une parallèle ; partir d’un milieu et d’une parallèle retrouve l’autre milieu.

📖 2. Thalès et trigonométrie

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans la configuration de Thalès où les droites (AB) et (AC) sont sécantes en A, avec M sur (AB), N sur (AC) et (MN) parallèle à (BC), on a $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$.

📐 Formule — Pour tout angle aigu a, la tangente vérifie $\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}$.

📐 Formule — Pour tout angle aigu a, on a $(\sin a)^2+(\cos a)^2=1$.

Compléments

📌 Si deux angles sont complémentaires, le sinus de l’un est égal au cosinus de l’autre.

💡 Astuce mémo

TSC : tangente, sinus-cosinus, complémentarité.

📖 3. Translations et vecteurs

★ À maîtriser

• Une translation conserve les distances.

• L’image d’une droite par une translation est une droite parallèle à la droite initiale.

• L’image d’un segment par une translation est un segment isométrique au segment initial.

Compléments

📌 Si $\overrightarrow{AM}=\alpha\overrightarrow{AB}$ avec $\alpha>0$, les vecteurs sont de même sens, tandis qu’avec $\alpha<0$, ils sont de sens contraires.

💡 Astuce mémo

Une translation conserve les distances, donc elle transforme une droite en parallèle et un segment en segment isométrique.

📖 4. Opérations vectorielles et milieux

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation de Chasles : Affirme que $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

📝 Points essentiels

📌 Pour quatre points non alignés A, B, C et D, ABDC est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$.

📌 Le point I est le milieu de [AB] si et seulement si $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$.

💡 Astuce mémo

AB puis BC mène à AC : c’est la relation de Chasles.

📖 5. Repérage et fonctions affines

🔑 Notions clés & Définitions

• Abscisse d’un point : Dans un repère cartésien $(O,\overrightarrow{OI})$ sur une droite, l’unique réel x tel que $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{OI}$.
• Fonction affine : Associe à chaque réel x le réel ax+b, et se note $f:x\mapsto ax+b$.

★ À maîtriser

📌 Les représentations graphiques de deux fonctions affines ayant le même coefficient directeur sont parallèles.

Compléments

• Le vecteur $\overrightarrow{OI}$ est unitaire si sa longueur vérifie $**OI=1**$.

• Dans une fonction affine f, f(x) est l’image de x et x est un antécédent de f(x).

💡 Astuce mémo

Dans ax+b, a règle l’inclinaison et b règle l’ordonnée à l’origine.

📖 6. Calcul numérique et équations

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du premier degré : Équation $ax+b=0$ où a est un réel non nul, b est réel et x est l’inconnue.
• Tableau de proportionnalité : Tableau de deux lignes dont les quotients des nombres d’une même colonne sont égaux.

★ À maîtriser

📌 Ajouter un même terme aux deux membres d’une équation produit une équation équivalente.

📌 Multiplier les deux membres d’une équation par un même nombre non nul produit une équation équivalente.

Compléments

📌 Pour le binôme ax+b, le signe est celui de -a avant la racine $-\frac{b}{a}$, il est nul à cette racine et celui de a après.

• L’encadrement $3{,}1\le x\le 3{,}2$ a une amplitude de 0,1.

📖 7. Statistiques descriptives

🔑 Notions clés & Définitions

• Étendue : La différence entre ses deux valeurs extrêmes et constitue un paramètre de dispersion.
• Mode : Le mode est une valeur dont l’effectif est le plus élevé ; une série à un seul mode est unimodale et une série à deux modes est bimodale.
• Fréquence : La fréquence d’une valeur est le quotient de l’effectif de cette valeur par l’effectif total.

★ À maîtriser

• Pour calculer la moyenne d’une série discrète, on multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne les produits et on divise par l’effectif total.

• 🔄 Pour déterminer la médiane d’une série discrète:

  1. Classer les valeurs par ordre croissant
  2. Prendre la valeur centrale si le nombre de valeurs est impair
  3. Prendre la moyenne des deux valeurs centrales si le nombre de valeurs est pair

Compléments

• Pour calculer les fréquences cumulées croissantes, on classe les valeurs dans l’ordre croissant puis on additionne successivement les fréquences jusqu’à obtenir 1.

📌 La médiane d’une série est l’abscisse du point de la courbe des fréquences cumulées dont l’ordonnée est 0,5.

• Pour calculer la moyenne d’une série groupée par classes, on multiplie chaque centre de classe par sa fréquence correspondante puis on additionne les produits.

• Pour obtenir le pourcentage d’élèves ayant une note inférieure ou égale à 7, on lit la fréquence cumulée correspondant à 7 puis on la multiplie par 100.

💡 Astuce mémo

Classer, cumuler, puis lire : la médiane se déduit de l’ordre et des fréquences.

📊 Tableaux de synthèse

Indicateurs statistiques