Fiche de révision : Logique et raisonnement mathématique

📋 Plan du Cours

1. Propositions et négation
2. Connecteurs logiques fondamentaux
3. Implication et équivalence
4. Quantificateurs et prédicats
5. Ensembles et opérations
6. Produits et ensembles numériques
7. Raisonnements par implication
8. Raisonnements structurés

📖 1. Propositions et négation

🔑 Notions clés & Définitions

• Proposition : Énoncé qui peut être déclaré sans ambiguïté vrai ou faux, mais jamais les deux à la fois.
• Négation : Proposition vraie lorsque la proposition initiale est fausse et fausse lorsque la proposition initiale est vraie.

📝 Points essentiels

📌 Une proposition possède une valeur de vérité déterminée, tandis qu’un prédicat dépendant d’une variable ne peut être évalué qu’après avoir fixé cette variable.

💡 Astuce mémo

Une proposition est vraie ou fausse ; un prédicat dépend encore d’une variable.

📖 2. Connecteurs logiques fondamentaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Conjonction : Vraie uniquement lorsque les deux propositions sont vraies.
• Disjonction : Vraie lorsqu’au moins l’une des deux propositions est vraie.

📝 Points essentiels

📌 Les lois de De Morgan donnent que la négation d’une conjonction est la disjonction des négations et que la négation d’une disjonction est la conjonction des négations.

💡 Astuce mémo

ET exige les deux propositions vraies, OU n’en exige qu’une au moins.

📖 3. Implication et équivalence

🔑 Notions clés & Définitions

• Implication : Se lit « si P alors Q » et affirme que lorsque P est vraie, Q est vraie.
• Équivalence : L’équivalence P ⇔ Q signifie que P implique Q et que Q implique P.

★ À maîtriser

📌 Pour une implication P ⇒ Q, P est une condition suffisante de Q et Q est une condition nécessaire de P.

📌 L’implication P ⇒ Q et sa contraposée ¬Q ⇒ ¬P ont les mêmes valeurs de vérité.

Compléments

📌 La négation de l’implication P ⇒ Q est la conjonction P ∧ ¬Q.

💡 Astuce mémo

Implication, réciproque, contraposée : trois formulations à distinguer.

📖 4. Quantificateurs et prédicats

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantificateurs : Symboles qui transforment un prédicat dépendant d’une variable en proposition en précisant les valeurs considérées.
• Quantificateur universel : La proposition ∀x ∈ A, P(x) est vraie lorsque tous les éléments de A vérifient P(x).
• Quantificateur existentiel : La proposition ∃x ∈ A, P(x) est vraie lorsqu’au moins un élément de A vérifie P(x).

📝 Points essentiels

📌 La négation de ∀x ∈ A, P(x) est ∃x ∈ A, ¬P(x), tandis que la négation de ∃x ∈ A, P(x) est ∀x ∈ A, ¬P(x).

💡 Astuce mémo

∀ concerne tous les éléments, ∃ au moins un élément.

📖 5. Ensembles et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Collection d’objets appelés éléments, qui ne sont pas ordonnés.
• Inclusion : A est inclus dans B, noté A ⊂ B, lorsque tout élément de A est aussi élément de B.
• Complémentaire : Le complémentaire de A dans E est l’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A.
• Produit cartésien : Le produit cartésien E₁ × E₂ est l’ensemble des couples (x₁, x₂) tels que x₁ ∈ E₁ et x₂ ∈ E₂.

📝 Points essentiels

📌 Une égalité d’ensembles A = B peut être prouvée par double inclusion : A ⊂ B et B ⊂ A.

💡 Astuce mémo

L’appartenance concerne un élément ; l’inclusion compare deux ensembles.

📖 6. Produits et ensembles numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Cardinal : Le cardinal d’un ensemble fini est le nombre de ses éléments et se note Card(E), |E| ou #E.

📝 Points essentiels

📌 La réunion A ∪ B contient les éléments appartenant à A ou à B, tandis que l’intersection A ∩ B contient les éléments appartenant à A et à B.

📌 Les lois de De Morgan pour les ensembles sont (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ et (A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ.

• Les ensembles numériques sont emboîtés selon ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ.

💡 Astuce mémo

ℕ s’inclut dans ℤ, puis ℚ, ℝ et enfin ℂ.

📖 7. Raisonnements par implication

★ À maîtriser

• Le raisonnement déductif applique le modus ponens : à partir de H vraie et de H ⇒ C vraie, on déduit C vraie.

• Pour réfuter ∀x ∈ A, P(x), il suffit de trouver un élément de A pour lequel P(x) est fausse.

• Pour démontrer P ⇒ Q par contraposée, il suffit de démontrer ¬Q ⇒ ¬P.

Compléments

• Pour démontrer P par l’absurde, on suppose ¬P vraie puis on déduit une impossibilité, ce qui montre que ¬P est fausse et que P est vraie.

💡 Astuce mémo

Hypothèse vraie et implication vraie → conclusion vraie.

📖 8. Raisonnements structurés

📝 Points essentiels

• Dans une disjonction de cas, il suffit de prouver la conclusion dans chaque sous-cas, à condition que la réunion des cas couvre tout l’ensemble considéré.

• Pour prouver P(n) pour tout entier n ≥ n₀ par récurrence, il faut établir l’initialisation P(n₀) puis l’hérédité P(k) ⇒ P(k + 1).

• L’analyse-synthèse cherche les solutions en déduisant d’abord des conditions nécessaires, puis en vérifiant que les candidats satisfont les conditions suffisantes.

💡 Astuce mémo

Cas particuliers, initialisation puis hérédité, enfin analyse puis synthèse.

📊 Tableaux de synthèse

Connecteurs et négations