Fiche de révision : Géométrie plane et vecteurs

📋 Plan du Cours

1. Vecteur associé à une translation
2. Égalité et milieu des vecteurs
3. Somme et relation de Chasles
4. Théorèmes de géométrie plane
5. Multiplication d’un vecteur par un réel
6. Parallélogramme et vecteurs opposés
7. Différence de deux vecteurs

📖 1. Vecteur associé à une translation

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur associé à une translation : Caractérisé par une direction, un sens et une longueur, et dont les représentants décrivent le déplacement de chaque point vers son image.
• Norme d’un vecteur : Sa longueur, par exemple $\|\vec{u}\|=\|\overrightarrow{AA'}\|=AA'.$
• Vecteur nul : Nul lorsque A et B sont confondus, il est noté $\vec{0}$.

📝 Points essentiels

📌 Une direction est définie par une droite, tandis qu’un sens indique l’un des deux parcours possibles sur cette droite, comme de A vers B ou de B vers A.

📖 2. Égalité et milieu des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Égalité de vecteurs : Même direction, même sens et même longueur.

📝 Points essentiels

📌 Pour quatre points A, B, C et D deux à deux distincts, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati.

📌 I est le milieu de [AB] si et seulement si $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$.

📖 3. Somme et relation de Chasles

★ À maîtriser

• La composition de deux translations de vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est une translation de vecteur somme $\vec{u}+\vec{v}$.

📐 Formule - Pour tous points A, B et C du plan, la relation de Chasles donne $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$.

Compléments

📐 Formule - Dans le triangle ABC, on a aussi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}$ et $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}$.

💡 Astuce mémo

A → B → C : le trajet direct AC se décompose en AB puis BC

📖 4. Théorèmes de géométrie plane

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un triangle ABC rectangle en B, le théorème de Pythagore affirme que $AC^2=AB^2+BC^2$.

📌 Si $AC^2=AB^2+BC^2$, alors le triangle ABC est rectangle en B ; c’est la réciproque du théorème de Pythagore.

📌 Si O, B, N et O, A, M sont alignés dans cet ordre et si (BA) est parallèle à (NM), alors $\frac{OB}{ON}=\frac{OA}{OM}=\frac{BA}{NM}$.

📐 Formule - Dans un triangle ABC où D et E sont les milieux de [AB] et [AC], (DE) est parallèle à (BC) et $DE=\frac{BC}{2}$.

Compléments

📌 Si $AC^2\ne AB^2+BC^2$, alors le triangle ABC n’est pas rectangle en B ; c’est la contraposée du théorème de Pythagore.

📌 Si O, B, N et O, A, M sont alignés dans cet ordre et si $\frac{OB}{ON}=\frac{OA}{OM}$, alors les droites (BA) et (NM) sont parallèles.

💡 Astuce mémo

Théorème : les hypothèses donnent une conclusion ; réciproque : la conclusion permet de retrouver une hypothèse

📖 5. Multiplication d’un vecteur par un réel

★ À maîtriser

📌 Pour un vecteur non nul $\vec{u}$ et un réel non nul k, $k\vec{u}$ a la même direction que $\vec{u}$ ; il a le même sens si $k>0$ et le sens contraire si $k<0$.

📐 Formule - La norme du vecteur multiplié par k vérifie $\|k\vec{u}\|=|k|\,\|\vec{u}\|$ pour un vecteur $\vec{u}$ non nul et un réel k non nul.

Compléments

• Les vecteurs $2\vec{u}$ et $\vec{u}$ ont même direction et même sens, et $\|2\vec{u}\|=2\|\vec{u}\|$.

📌 Si $\vec{u}=\vec{0}$ ou si $k=0$, alors $k\vec{u}=\vec{0}$.

💡 Astuce mémo

Réel positif : même sens ; réel négatif : sens contraire

📖 6. Parallélogramme et vecteurs opposés

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs opposés : Même direction et même longueur, mais des sens contraires ; par exemple $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$.

📝 Points essentiels

📌 Pour trois points A, B et C, ABCD est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.

📖 7. Différence de deux vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Différence de vecteurs : Le vecteur $\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v})$.