QCM : Géométrie plane et vecteurs (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Lors d’une translation, que décrivent les représentants du vecteur associé ?

La position de chaque point par rapport à un axe, sans préciser de déplacement
La distance entre chaque point et son image, sans préciser de parcours
Le déplacement de chaque point vers son image, avec une direction, un sens et une longueur définis
La rotation de chaque point autour d’un centre, avec un angle et un rayon définis

Le déplacement de chaque point vers son image, avec une direction, un sens et une longueur définis

Explication

Le vecteur associé caractérise la translation par sa direction, son sens et sa longueur, et ses représentants décrivent le déplacement de chaque point vers son image. Une distance seule ne précise ni la direction ni le sens du déplacement.

2. Un vecteur u⃗\vec{u} est représenté par AA′→\overrightarrow{AA'} ; à quoi correspond sa norme ?

À la direction de la droite portant le segment reliant les deux points
Au sens du parcours allant de AA vers A′A'
À la longueur AA′AA' du segment reliant le point de départ à son image
À la position du point A′A' par rapport à l’origine du repère

À la longueur $$AA'$$ du segment reliant le point de départ à son image

Explication

La norme d’un vecteur est sa longueur, donc ici ∥u⃗∥=∥AA′→∥=AA′\|\vec{u}\|=\|\overrightarrow{AA'}\|=AA'. La direction et le sens décrivent d’autres caractéristiques du vecteur, pas sa norme.

3. Deux vecteurs ont la même direction et la même longueur, mais des sens opposés ; quelle conclusion s’impose ?

Ils ne sont pas égaux, car leurs sens diffèrent
Ils ne sont pas égaux, car leurs longueurs doivent être différentes
Ils sont égaux, car leur direction et leur longueur coïncident
Ils sont égaux si leurs représentants ont la même origine

Ils ne sont pas égaux, car leurs sens diffèrent

Explication

L’égalité de deux vecteurs exige la même direction, le même sens et la même longueur : des sens opposés excluent donc l’égalité. Une même origine ne remplace pas la condition portant sur le sens.

4. Pour vérifier que II est le milieu du segment [AB][AB], quelle égalité vectorielle faut-il établir ?

AI→=IB→\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}
IA→=IB→\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{IB}
AB→=AI→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}
AI→=BI→\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{BI}

$$\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$$

Explication

Le point II est le milieu de [AB][AB] si et seulement si les vecteurs AI→\overrightarrow{AI} et IB→\overrightarrow{IB} sont égaux. L’égalité AI→=BI→\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{BI} inverse le sens du second vecteur et ne traduit pas cette relation.

5. Que représente la composition de deux translations de vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} ?

Une translation de vecteur u⃗−v⃗\vec{u}-\vec{v}
Une translation de vecteur u⃗+v⃗\vec{u}+\vec{v}
Une translation de vecteur v⃗−u⃗\vec{v}-\vec{u}
Une translation de vecteur u⃗\vec{u}, suivie d’une translation de vecteur −v⃗-\vec{v}

Une translation de vecteur $$\vec{u}+\vec{v}$$

Explication

La composition de deux translations est une translation dont le vecteur est la somme des vecteurs associés. La différence de vecteurs correspond à une autre opération et ne décrit pas cette composition.

6. Dans un triangle ABCABC où DD et EE sont les milieux de [AB][AB] et [AC][AC], quelle relation relie DEDE à BCBC ?

La longueur DEDE est égale au double de BCBC.
La longueur DEDE est égale à celle de BCBC.
La longueur DEDE est égale au tiers de BCBC.
La longueur DEDE est égale à la moitié de BCBC.

La longueur $$DE$$ est égale à la moitié de $$BC$$.

Explication

Le théorème des milieux affirme que le segment joignant les milieux de deux côtés d’un triangle mesure la moitié du troisième côté. La relation de parallélisme entre ces segments ne signifie pas que leurs longueurs sont égales.

7. Quel rôle joue la valeur absolue de kk dans la multiplication d’un vecteur non nul u⃗\vec{u} par un réel non nul kk ?

Elle fixe la direction du vecteur obtenu par rapport à u⃗\vec{u}.
Elle détermine si le vecteur conserve ou inverse son sens.
Elle donne le facteur par lequel la norme de u⃗\vec{u} est multipliée.
Elle indique si le vecteur obtenu est nul ou non nul.

Elle donne le facteur par lequel la norme de $$\vec{u}$$ est multipliée.

Explication

La norme du vecteur produit est égale à ∣k∣ ∥u⃗∥|k|\,\|\vec{u}\| : la valeur absolue de kk agit donc sur sa longueur. Le signe de kk, plutôt que sa valeur absolue, détermine si le sens est conservé ou inversé.

8. En quoi les vecteurs opposés se distinguent-ils des côtés opposés d’un parallélogramme considérés comme segments ?

Ils ont le même sens, tandis que les segments ont des sens contraires.
Ils ont des directions différentes, tandis que les segments ont la même direction.
Ils ont des sens contraires, tandis que les segments n’ont pas de sens.
Ils ont des longueurs différentes, tandis que les segments sont parallèles.

Ils ont des sens contraires, tandis que les segments n’ont pas de sens.

Explication

Des vecteurs opposés ont la même direction et la même longueur, mais des sens contraires ; un segment, lui, ne porte pas de sens. Les côtés opposés d’un parallélogramme sont parallèles et de même longueur, mais les considérer comme segments ne leur attribue pas automatiquement des sens contraires.

9. Lorsqu’on soustrait un vecteur v⃗\vec{v} d’un vecteur u⃗\vec{u}, quelle opération équivalente en résulte ?

On additionne u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sans changer leur sens.
On additionne à u⃗\vec{u} le vecteur opposé à v⃗\vec{v}.
On retranche à u⃗\vec{u} le vecteur opposé à v⃗\vec{v}.
On additionne à v⃗\vec{v} le vecteur opposé à u⃗\vec{u}.

On additionne à $$\vec{u}$$ le vecteur opposé à $$\vec{v}$$.

Explication

Soustraire v⃗\vec{v} revient à lui associer son vecteur opposé, puis à l’additionner à u⃗\vec{u}. Additionner directement les deux vecteurs ne produit pas leur différence.

10. Pour déplacer chaque point d’une figure selon la même translation, quelles caractéristiques doivent partager les vecteurs reliant les points à leurs images ?

Une direction, un sens et une longueur identiques
Une même direction et un même sens, avec des longueurs différentes
Une direction et une longueur identiques, avec des sens opposés
Un même sens et une même longueur, avec des directions différentes

Une direction, un sens et une longueur identiques

Explication

Les vecteurs associés à une translation décrivent le déplacement de chaque point vers son image et sont caractérisés par une direction, un sens et une longueur communs. Des vecteurs de même direction et longueur, mais de sens opposés, décriraient des déplacements contraires.

11. Quelles sont les trois caractéristiques nécessaires pour que deux vecteurs soient égaux ?

Une même direction, un même sens et une même longueur
Une même direction, des sens opposés et une même longueur
Des directions perpendiculaires, un même sens et une même longueur
Une même direction, un même sens et des longueurs différentes

Une même direction, un même sens et une même longueur

Explication

Deux vecteurs sont égaux lorsqu’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. Des vecteurs de même direction et de même longueur, mais de sens opposés, ne sont pas égaux.

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Quelles caractéristiques définissent le vecteur associé à une translation ?

Une direction, un sens et une longueur.

Que représente la norme d’un vecteur ?

Sa longueur.

Quelles caractéristiques rendent deux vecteurs égaux ?

Ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.

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