Fiche de révision : Grandeurs, dimensions et unités

📋 Plan du Cours

1. Système physique et lois
2. Interactions élémentaires de la matière
3. Grandeurs et dimensions de base
4. Calcul des dimensions dérivées
5. Grandeurs sans dimension et homogénéité
6. Unités et système international
7. Valeurs et calculs numériques
8. Redéfinitions du système international

📅 Repères chronologiques

1. 1791L’Assemblée constituante décide de définir une unité de mesure qui ne soit ni arbitraire ni particulière à un peuple.
2. 1832Gauss œuvre en faveur de l’application du système métrique associé à la seconde définie en astronomie comme système cohérent pour les sciences physiques.
3. 1874La BAAS introduit le système CGS, fondé sur le centimètre, le gramme et la seconde.
4. 20 mai 1875La Convention du Mètre est signée et lance la construction de nouveaux prototypes, avec le mètre et le kilogramme comme unités de base de longueur et de masse.
5. 1960La 11e CGPM donne au système le nom de Système international d’unités (SI), après l’approbation en 1954 de l’ampère, du kelvin et de la candela comme unités de base.
6. 1971La 14e CGPM ajoute la mole au SI comme unité de base de quantité de matière, portant à sept le nombre d’unités de base.
7. 1983La 17e CGPM redéfinit le mètre à partir de la longueur du trajet parcouru par la lumière dans le vide pendant un intervalle de temps donné.
8. 16 novembre 2018La 26e CGPM adopte une révision du SI redéfinissant le kilogramme, l’ampère, le kelvin et la mole, mise en application en 2019.

📖 1. Système physique et lois

🔑 Notions clés & Définitions

• Système physique : Portion de l’univers, délimitée réellement ou virtuellement, dont on distingue les constituants internes du reste du monde.
• Grandeur physique : Propriété mesurable qui caractérise un système et s’exprime sous la forme d’un nombre et d’une unité de mesure.
• Loi physique : Relation mathématique entre les grandeurs physiques d’un système, universelle et applicable à toutes les échelles.

💡 Astuce mémo

Mesurer des propriétés → formuler des lois physiques.

📖 2. Interactions élémentaires de la matière

★ À maîtriser

• Les quatre interactions élémentaires sont :

  • l’interaction forte
  • l’interaction faible
  • l’interaction électromagnétique
  • l’interaction gravitationnelle

• L’interaction forte lie les quarks par échange de gluons et, sous forme nucléaire effective, maintient les nucléons ensemble dans les noyaux par échange de pions.

• L’interaction électromagnétique agit entre charges électriques, explique aussi le magnétisme et intervient dans les liaisons atomiques et moléculaires ; le photon en est la particule vectrice.

• L’interaction gravitationnelle attire les systèmes massifs, domine aux grandes échelles et, en relativité générale, est décrite comme l’effet de la courbure de l’univers produite par les masses.

Compléments

• L’interaction faible intervient notamment dans la radioactivité et la fusion nucléaire, et ses particules vectrices sont les bosons W⁺, W⁻ et Z⁰.

📖 3. Grandeurs et dimensions de base

🔑 Notions clés & Définitions

• Dimension : Expression de la dépendance d’une grandeur physique envers les dimensions des grandeurs de base, indépendante de l’unité choisie pour la mesurer.

★ À maîtriser

• Les sept grandeurs de base et leurs dimensions sont :
  • la longueur L
  • la masse M
  • le temps T
  • le courant électrique I
  • la température thermodynamique Θ
  • la quantité de matière N
  • l’intensité lumineuse J

📌 Une grandeur dérivée est définie à partir des grandeurs de base ; par exemple, la vitesse et le volume sont des grandeurs dérivées.

Compléments

📐 Formule - La dimension d’une grandeur X s’écrit généralement $[X]=L^aM^bT^cI^d\Theta^eN^fJ^g$, où les exposants sont des nombres réels.

📖 4. Calcul des dimensions dérivées

★ À maîtriser

📐 Formule - La dimension de la vitesse est $[v]=LT^{-1}$ et celle du volume est $[V]=L^3$.

📐 Formule - L’énergie cinétique $E_c=\frac{1}{2}mv^2$ a pour dimension $[E_c]=ML^2T^{-2}$.

📐 Formule - La force a pour dimension $[F]=MLT^{-2}$, obtenue à partir de la masse et de l’accélération.

Compléments

📐 Formule - La masse volumique a pour dimension $[\rho]=ML^{-3}$.

📌 La dimension d’une dérivée est la dimension de la grandeur dérivée divisée par celle de la variable de dérivation ; une dérivation temporelle ajoute donc un facteur $T^{-1}$.

📖 5. Grandeurs sans dimension et homogénéité

🔑 Notions clés & Définitions

• Grandeur sans dimension : Grandeur dont tous les exposants de dimensions de base sont nuls et dont la dimension vaut 1.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le nombre de Mach est le rapport de la vitesse d’un mobile à la célérité du son dans le milieu : $Ma=\frac{v}{c_s}$ ; il est supersonique si sa valeur dépasse 1 et subsonique si elle est inférieure à 1.

• Les angles sont sans dimension parce qu’ils sont définis par le rapport de deux longueurs, mais ils peuvent avoir une unité, notamment le radian.

📌 Dans une équation physique, les deux membres doivent avoir la même dimension, et les grandeurs additionnées ou soustraites doivent aussi avoir la même dimension.

• Pour un pendule de longueur l soumis à une accélération de pesanteur g, l’analyse dimensionnelle donne une période proportionnelle à $\sqrt{\frac{l}{g}}$ et montre que sa masse n’intervient pas.

Compléments

📐 Formule - L’indice optique est le rapport entre la célérité de la lumière dans le vide et sa vitesse dans le matériau : $n=\frac{c_0}{c}$.

📐 Formule - Le nombre de Froude est défini par $Fr=\frac{v}{\sqrt{gl}}$, où v est la vitesse et l la longueur des jambes ; une valeur faible est associée à la marche et une valeur élevée à la course.

📌 Les fonctions sinus, cosinus, exponentielle et logarithme ne s’appliquent qu’à des nombres sans dimension et renvoient des résultats sans dimension.

💡 Astuce mémo

Une grandeur sans dimension peut avoir une unité, comme l’angle en radians.

📖 6. Unités et système international

🔑 Notions clés & Définitions

• Unité de mesure : Grandeur scalaire réelle définie par convention, à laquelle on compare une grandeur de même nature pour exprimer leur rapport par un nombre.
• Système d’unités : Ensemble d’unités de base et dérivées, de leurs multiples et sous-multiples, défini selon des règles données pour un système de grandeurs.

★ À maîtriser

• Les unités de base du SI sont : le mètre (m) pour la longueur, le kilogramme (kg) pour la masse, la seconde (s) pour le temps, l’ampère (A) pour le courant électrique, le kelvin (K) pour la température thermodynamique, la mole (mol) pour la quantité de matière, la candela (cd) pour l’intensité lumineuse

Compléments

• Les préfixes SI vont notamment de déca (10¹) à yotta (10²⁴) pour les multiples, et de déci (10⁻¹) à yocto (10⁻²⁴) pour les sous-multiples.

📌 Le mètre par seconde (m/s) est une unité SI de vitesse, tandis que le kilomètre par heure (km/h) est une unité hors SI dont l’usage est accepté avec le SI et que le nœud est aussi une unité hors SI.

📖 7. Valeurs et calculs numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur d’une grandeur : Ensemble formé par un nombre et une unité, qui exprime quantitativement cette grandeur.

★ À maîtriser

• Pour effectuer une application numérique, il faut mener le calcul littéral, convertir les valeurs dans le SI, substituer les valeurs numériques, effectuer le calcul, puis donner le résultat avec son unité et un nombre de chiffres significatifs adapté.

Compléments

• Pour une plaque carrée d’acier de côté 10 cm et d’épaisseur 5 mm, en utilisant une masse volumique de 7,8 kg/L, le calcul donne une masse de 0,39 kg, soit 390 g.

• Une automobile passant de 0 à 100 miles par heure en 10 secondes a une accélération moyenne de 4,5 m·s⁻² en utilisant la conversion 1 mile = 1,61 × 10³ m.

💡 Astuce mémo

Littéral → SI → substitution → calcul → résultat avec unité.

📖 8. Redéfinitions du système international

📝 Points essentiels

• La révision du SI fixe notamment les constantes suivantes : la fréquence de transition du césium à 9 192 631 770 Hz, la vitesse de la lumière à 299 792 458 m/s, la constante de Planck à 6,626 070 15 × 10⁻³⁴ J·s, la charge élémentaire à 1,602 176 634 × 10⁻¹⁹ C, la constante de Boltzmann à 1,380 649 × 10⁻²³ J/K, la constante d’Avogadro à 6,022 140 76 × 10²³ mol⁻¹