Fiche de révision : Grandeurs, forces et cinématique

📋 Plan du Cours

1. Grandeurs physiques et unités SI
2. Dimensions et analyse dimensionnelle
3. Vecteurs et forces
4. Équilibre et forces usuelles
5. Produits de vecteurs
6. Interactions fondamentales et gravitation
7. Charge et interaction électrique
8. Référentiels et repères
9. Coordonnées du point mobile
10. Vitesse et accélération
11. Mouvements rectilignes
12. Mouvements circulaires et sinusoïdaux

📅 Repères chronologiques

1. 1687Isaac Newton publie « Phylosophiae naturalis principia mathematica », qui énonce la gravitation universelle et les trois lois de Newton.
2. 1917La théorie de Newton est remise en cause par A. Einstein avec la théorie de la gravité générale.
3. 1960Le système SI est défini avec sept unités de base : seconde, mètre, kilogramme, ampère, kelvin, mole et candela.

📖 1. Grandeurs physiques et unités SI

🔑 Notions clés & Définitions

• Grandeur physique : Tout ce qui peut être mesuré avec un instrument ou calculé à l’aide d’une formule.

★ À maîtriser

• Le Système international repose sur sept unités de base :
  • seconde (s)
  • mètre (m)
  • kilogramme (kg)
  • ampère (A)
  • kelvin (K)
  • mole (mol)
  • candela (cd)

Compléments

• En 2018, le kilogramme, l’ampère, le kelvin et la mole sont redéfinis à partir des valeurs numériques exactes de constantes fondamentales.

📖 2. Dimensions et analyse dimensionnelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Dimension : Caractérise sa dépendance au choix de l’étalon de mesure.

★ À maîtriser

📐 Formule - La dimension de l’accélération est $[a]=LT^{-2}$, et son unité SI est $\mathrm{m\,s^{-2}}$.

📐 Formule - La force vérifie $F=ma$, sa dimension est $[F]=MLT^{-2}$ et son unité SI est le newton, $\mathrm{kg\,m\,s^{-2}}$.

• L’analyse dimensionnelle vérifie l’homogénéité d’une formule et permet de rechercher une relation entre des grandeurs physiques liées.

Compléments

• Le cours associe les unités dérivées suivantes aux grandeurs :

  • newton à la force
  • pascal à la pression
  • joule au travail
  • watt à la puissance
  • coulomb à la charge

• En supposant $T_p=Cm^\alpha l^\beta g^\gamma$ pour la période d’un pendule, l’homogénéité donne $\alpha=0$, $\beta=\frac12$ et $\gamma=-\frac12$, donc $T_p=C\sqrt{\frac{l}{g}}$.

💡 Astuce mémo

Comparer les dimensions → tester une formule ou déterminer des exposants.

📖 3. Vecteurs et forces

🔑 Notions clés & Définitions

• Force : Une grandeur physique qui représente la cause d’une déformation ou d’une modification de l’état de repos ou de mouvement d’un corps.

★ À maîtriser

• Une force est caractérisée par :
  • sa direction
  • son sens
  • sa norme exprimée en newtons
  • son point d’application

📐 Formule - Dans un repère cartésien, les composantes d’une force de norme F faisant un angle α avec l’axe x sont $F_x=F\cos\alpha$ et $F_y=F\sin\alpha$ lorsque l’angle est mesuré depuis cet axe dans la configuration indiquée.

📐 Formule - La résultante de plusieurs forces est leur somme vectorielle, $\vec F_{\mathrm{rés}}=\sum_n\vec F_n$.

Compléments

📐 Formule - La norme d’un vecteur de composantes cartésiennes est $\lVert\vec F\rVert=\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}$.

📐 Formule - La somme de deux vecteurs cartésiens s’obtient composante par composante : $\vec C=\vec A+\vec B=(A_x+B_x,\,A_y+B_y,\,A_z+B_z)$.

📖 4. Équilibre et forces usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Poids : L’action gravitationnelle exercée par la Terre, ou par extension un autre astre, sur un objet situé à proximité de sa surface.
• Poussée d’Archimède : La somme vectorielle des forces de pression exercées par un fluide sur la surface d’un objet immergé.

★ À maîtriser

📌 Un corps est à l’équilibre lorsque la résultante de toutes les forces appliquées est nulle, $\sum_n\vec F_n=\vec 0$.

• Selon le principe d’inertie présenté dans le cours, un objet immobile ou en mouvement rectiligne uniforme voit les forces qui s’exercent sur lui se compenser.

📐 Formule - Le poids vérifie $\vec P=m\vec g$ et son intensité est $P=mg$, avec $g\approx9{,}81\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ près de la surface terrestre.

📐 Formule - La poussée d’Archimède a pour intensité $F_A=m_fg$, où $m_f$ est la masse du fluide déplacé, et elle est verticale vers le haut.

Compléments

• Le poids s’applique au centre de gravité de l’objet, suivant la verticale et vers le bas.

💡 Astuce mémo

Poids vers le bas, poussée d’Archimède vers le haut.

📖 5. Produits de vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit vectoriel : Un vecteur perpendiculaire à chacun des vecteurs u et v, tel que u, v et u × v pris dans cet ordre forment un repère.

★ À maîtriser

📌 Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel, égal au produit de leurs normes par le cosinus de l’angle entre eux.

📐 Formule - En coordonnées cartésiennes, le produit scalaire s’écrit $\vec u\cdot\vec v=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z=\lVert\vec u\rVert\lVert\vec v\rVert\cos\theta$.

Compléments

• L’angle orienté entre deux vecteurs est mesuré du premier vecteur vers le second, et l’angle inversé change de signe.

📐 Formule - La norme du produit vectoriel de deux vecteurs vérifie $\lVert\vec u\times\vec v\rVert=\lVert\vec u\rVert\lVert\vec v\rVert\sin\theta$.

💡 Astuce mémo

Produit scalaire : nombre ; produit vectoriel : vecteur perpendiculaire.

📖 6. Interactions fondamentales et gravitation

📝 Points essentiels

• Le cours distingue quatre interactions fondamentales :
  • gravitationnelle
  • électromagnétique
  • forte
  • faible

📐 Formule - Selon la loi de Newton, deux masses ponctuelles s’attirent suivant la droite qui les joint, avec une force de norme $F=\mathcal G\frac{m_1m_2}{r^2}$, où $\mathcal G=6{,}67\cdot10^{-11}\,\mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$.

📐 Formule - Le champ gravitationnel créé par une masse ponctuelle M s’écrit $\vec G=-\mathcal G\frac{M}{r^2}\vec u_r$ et la force sur une masse m vérifie $\vec F=m\vec G$.

📖 7. Charge et interaction électrique

★ À maîtriser

• La charge électrique se conserve et toute charge Q est un multiple entier de la charge élémentaire $q_e\approx1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm C$. - Millikan, 1909

• Les phénomènes d’électrisation comprennent deux types de charges, conventionnellement positive et négative ; les charges de même signe se repoussent et celles de signes différents s’attirent.

📐 Formule - Dans le vide, la force de Coulomb entre deux charges ponctuelles vérifie $\vec F_{1\to2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{d^2}\vec u_{1\to2}$ et $k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx9\cdot10^9\,\mathrm{N\,m^2\,C^{-2}}$.

📌 La force de Coulomb est attractive lorsque les charges sont de signes opposés et répulsive lorsqu’elles sont de même signe.

📐 Formule - Le champ électrique créé par une charge ponctuelle q s’écrit $\vec E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{d^2}\vec u$, et la force sur une charge q' vérifie $\vec F=q'\vec E$.

Compléments

📐 Formule - Entre les armatures d’un condensateur plan, le champ électrique est presque uniforme et vérifie $E=\frac{U}{l}$, avec $U=V_+-V_-$ et l la distance entre les plaques.

💡 Astuce mémo

Charges de même signe : répulsion ; de signes opposés : attraction.

📖 8. Référentiels et repères

🔑 Notions clés & Définitions

• Référentiel : Un solide réel ou imaginaire dans lequel un observateur réalise des observations ou des expériences et par rapport auquel le mouvement est défini.
• Repère d’espace : Défini par une origine fixe dans le référentiel choisi et par des directions qui permettent de déterminer la position d’un point.
• Repère de temps : Comprend une origine des temps fixée par l’observateur et une durée unitaire qui fixe la chronologie.

★ À maîtriser

📌 La trajectoire d’un mobile dépend du référentiel depuis lequel elle est observée, car le mouvement est relatif à l’observateur.

Compléments

• En mécanique classique ou newtonienne, le cours postule que le temps s’écoule de la même manière dans des référentiels en mouvement les uns par rapport aux autres.

💡 Astuce mémo

Un mouvement dépend du référentiel choisi, pas seulement de l’objet.

📖 9. Coordonnées du point mobile

🔑 Notions clés & Définitions

• Trajectoire : L’ensemble des positions qu’il occupe successivement au cours du temps.
• Coordonnées polaires : Dans le plan, la distance radiale r à l’origine et l’angle θ mesuré par rapport à l’axe polaire.

★ À maîtriser

📐 Formule - En coordonnées cartésiennes, le vecteur position s’écrit $\overrightarrow{OM}(t)=x(t)\vec u_x+y(t)\vec u_y+z(t)\vec u_z$.

Compléments

📐 Formule - La conversion des coordonnées polaires en coordonnées cartésiennes est $x=r\cos\theta$ et $y=r\sin\theta$.

• Les coordonnées sphériques repèrent un point à l’aide d’une distance et de deux angles ; le cours cite la latitude et la longitude pour repérer un lieu sur la Terre.

• La latitude varie de −90° à 90° et la longitude, comptée depuis le méridien de Greenwich, varie de −180° à 180°.

📖 10. Vitesse et accélération

🔑 Notions clés & Définitions

• Vitesse instantanée : La dérivée du vecteur position par rapport au temps ; elle est tangente à la trajectoire, orientée dans le sens du mouvement et s’exprime en m·s⁻¹.
• Accélération : Décrit la modification de la vitesse au cours du temps et vérifie $\vec a=\frac{d\vec v}{dt}=\frac{d^2\overrightarrow{OM}}{dt^2}$ ; son unité est m·s⁻².

★ À maîtriser

📐 Formule - La vitesse instantanée vérifie $\vec v=\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}$.

📐 Formule - En coordonnées polaires, la vitesse s’écrit $\vec v=\dot r\,\vec u_r+r\dot\theta\,\vec u_\theta$.

Compléments

📐 Formule - La vitesse moyenne entre les instants ti et tf est le déplacement divisé par la durée, $\vec v_{\mathrm{moy}}=\frac{\overrightarrow{M_iM_f}}{t_f-t_i}$.

📐 Formule - En coordonnées polaires, l’accélération vaut $\vec a=(\ddot r-r\dot\theta^2)\vec u_r+(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta)\vec u_\theta$.

💡 Astuce mémo

La variation du vecteur vitesse → l’accélération, même si sa norme reste constante.

📖 11. Mouvements rectilignes

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement rectiligne uniforme : Un déplacement en ligne droite à vitesse constante.
• Mouvement rectiligne uniformément varié : La trajectoire est une portion de droite et l’accélération est constante.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un mouvement rectiligne uniforme, $a=0$, $v(t)=v_0$ et $x(t)=v_0t+x_0$.

📐 Formule - Pour un mouvement rectiligne uniformément varié, $a(t)=a_0$, $v(t)=a_0t+v_0$ et $x(t)=\frac12a_0t^2+v_0t+x_0$.

Compléments

📌 Le mouvement est accéléré si $\vec a\cdot\vec v>0$ et décéléré si $\vec a\cdot\vec v<0$.

💡 Astuce mémo

Vitesse constante : accélération nulle ; accélération constante : vitesse variable.

📖 12. Mouvements circulaires et sinusoïdaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement circulaire uniforme : Suit un cercle à vitesse de norme constante et à vitesse angulaire constante.
• Mouvement rectiligne sinusoïdal : Sa trajectoire est une droite et sa loi horaire est une fonction sinusoïdale du temps.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un mouvement circulaire de rayon R et de vitesse angulaire ω, la vitesse tangentielle a pour norme $v=R\omega$.

📐 Formule - En mouvement circulaire uniforme, l’accélération est centripète et vérifie $\vec a=-R\omega^2\vec u_r=-\frac{v^2}{R}\vec u_r$.

Compléments

📐 Formule - La période d’un mouvement circulaire uniforme vérifie $T=\frac{2\pi R}{v} =\frac{2\pi}{\omega}$.

📐 Formule - La loi horaire d’un mouvement rectiligne sinusoïdal est $x(t)=x_m\sin(\omega t+\phi)$, où xm est l’amplitude, ω la pulsation et φ la phase à l’origine.

💡 Astuce mémo

En circulaire uniforme, la norme de la vitesse est constante mais sa direction change.