Fiche de révision : Graphiques et plan cartésien

📋 Plan du Cours

1. Plan cartésien et coordonnées
2. Tables et relations entre variables
3. Fonctions et droites
4. Pente et équation d’une droite
5. Variations directe et partielle
6. Lecture et analyse des graphiques
7. Intersections et comportement des droites
8. Modélisation de problèmes

📖 1. Plan cartésien et coordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• Plan cartésien : Graphique composé de deux axes qui se croisent : l’axe horizontal représente x et l’axe vertical représente y.

★ À maîtriser

• L’origine est le point où les deux axes se croisent et ses coordonnées sont (0,0).

• Les quadrants I, II, III et IV ont respectivement les signes (+,+), (-,+), (-,-) et (+,-) pour les coordonnées (x,y).

📌 Les coordonnées d’un point s’écrivent toujours dans l’ordre (x,y) : x indique le déplacement horizontal et y le déplacement vertical.

Compléments

• 🔄 Pour placer un point :
  1. Partir de (0,0).
  2. Se déplacer horizontalement selon x.
  3. Se déplacer verticalement selon y.
  4. Marquer le point obtenu.

💡 Astuce mémo

À droite et en haut : (+,+) ; à gauche et en bas : (-,-).

📖 2. Tables et relations entre variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable indépendante : Valeur que l’on choisit ou qui influence l’autre variable, généralement notée x.
• Table de valeurs : Tableau qui présente des valeurs de x et les valeurs correspondantes de y.
• Variable dépendante : Valeur qui change en fonction de la variable indépendante, généralement notée y.

★ À maîtriser

• Pour construire un graphique à partir d’une table, chaque ligne fournit un point à placer sur le plan cartésien.

Compléments

• Une relation mathématique décrit comment deux variables sont liées; par exemple, dans y = 3x, y est trois fois x.

• Un graphique à ligne montre une évolution, un diagramme à bandes compare des catégories, un nuage de points montre une relation entre deux variables et le graphique d’une fonction représente une relation mathématique entre x et y.

💡 Astuce mémo

Table → coordonnées → points → graphique.

📖 3. Fonctions et droites

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Relation qui associe une seule valeur de y à chaque valeur de x.

★ À maîtriser

📐 Formule - Une fonction linéaire est représentée par une droite et s’écrit $y=ax+b$, où a est la pente et b l’ordonnée à l’origine.

• Dans l’équation $y=ax+b$, x est la variable indépendante, y la variable dépendante, a la pente et b l’ordonnée à l’origine.

Compléments

• Pour la fonction $y=2x+3$, si x = 2, alors y = 7 et le point correspondant est (2,7).

📖 4. Pente et équation d’une droite

★ À maîtriser

📐 Formule - La pente entre deux points est $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$, soit la variation verticale divisée par la variation horizontale.

• Le signe de la pente indique le comportement de la droite :

  • Pente positive : la droite monte de gauche à droite.
  • Pente négative : la droite descend de gauche à droite.
  • Pente nulle : la droite est horizontale.

• Pour trouver l’équation d’une droite à partir de deux points, calcule la pente, remplace a dans $y=ax+b$, utilise un point pour trouver b, puis écris l’équation.

Compléments

• Entre A(1,3) et B(3,7), la pente vaut $\frac{7-3}{3-1}=2$.

💡 Astuce mémo

La pente est le rapport entre la montée verticale et le déplacement horizontal.

📖 5. Variations directe et partielle

★ À maîtriser

📐 Formule - Une variation directe s’écrit $y=ax$ et sa droite passe par l’origine (0,0).

📐 Formule - Une variation partielle s’écrit $y=ax+b$ avec une valeur initiale non nulle b, et sa droite ne passe pas par l’origine.

Compléments

• Pour des pommes vendues à 4 $ le kilogramme, le prix de x kilogrammes suit la relation $y=4x$.

• Un taxi qui coûte 5 $ au départ puis 2 $ par kilomètre est décrit par $y=2x+5$.

💡 Astuce mémo

Variation directe : départ à l’origine ; variation partielle : départ décalé.

📖 6. Lecture et analyse des graphiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Domaine : Ensemble des valeurs possibles de x.
• Image : Ensemble des valeurs possibles de y.

★ À maîtriser

📌 Avant de placer un point ou de lire une valeur, il faut vérifier l’échelle de chaque axe, car une graduation peut représenter 5 unités sur x et 10 unités sur y.

📌 L’interpolation estime une valeur située entre des valeurs connues, tandis que l’extrapolation estime une valeur à l’extérieur des valeurs connues.

Compléments

• Pour $y=2x+1$ lorsque $0\le x\le4$, le domaine est [0,4] et l’image est [1,9].

• L’extrapolation est généralement moins fiable, car elle suppose que la tendance continue au-delà des valeurs connues.

💡 Astuce mémo

Interpolation entre les données ; extrapolation au-delà.

📖 7. Intersections et comportement des droites

🔑 Notions clés & Définitions

• Abscisse à l’origine : L’abscisse à l’origine est le point où une droite coupe l’axe horizontal; pour la trouver, on remplace y par 0.
• Droites parallèles : Deux droites distinctes qui ne se croisent jamais et possèdent la même pente, mais peuvent avoir des ordonnées à l’origine différentes.

★ À maîtriser

• Une relation est croissante si y augmente lorsque x augmente, décroissante si y diminue lorsque x augmente et constante si y ne change pas lorsque x augmente.

📌 Une relation linéaire est représentée par une droite, tandis qu’une relation non linéaire peut être représentée par une courbe et n’a pas une pente constante sur tout son graphique.

Compléments

• Pour $y=2x-6$, poser y = 0 donne x = 3; la droite coupe donc l’axe x au point (3,0).

📖 8. Modélisation de problèmes

★ À maîtriser

• 🔄 Pour résoudre un problème à l’aide d’un graphique :
  1. Définir les variables.
  2. Établir la relation entre elles.
  3. Représenter la relation.
  4. Utiliser l’équation ou le graphique pour répondre à la question.

Compléments

• Pour x billets de cinéma à 12 $ chacun avec 5 $ de frais fixes, le prix total suit $y=12x+5$.

• Avec la relation $y=12x+5$, l’achat de 6 billets coûte 77 $.

📌 Pour éviter les erreurs de lecture et de tracé, écris les coordonnées dans l’ordre (x,y), distingue l’axe x horizontal de l’axe y vertical, tiens compte des nombres négatifs et de l’échelle, calcule la pente par la différence des y divisée par la différence des x et distingue a, pente, de b, ordonnée à l’origine.

📊 Tableaux de synthèse

Variations directe et partielle

Interpolation et extrapolation