Fiche de révision : Gravitation universelle et satellites

📋 Plan du Cours

1. Ordres de grandeur astronomiques
2. Loi de gravitation de Newton
3. Champ de pesanteur et poids
4. Variation de la pesanteur
5. Calculs et incertitudes gravitationnels
6. Superposition et sphères homogènes
7. Masses célestes et mouvement orbital
8. Satellites et systèmes à trois corps

📖 1. Ordres de grandeur astronomiques

★ À maîtriser

• Les distances Terre–Lune, Terre–Soleil et Soleil–Neptune valent respectivement environ $4 \times 10^{8}\ \mathrm{m}$, $2 \times 10^{11}\ \mathrm{m}$ et $5 \times 10^{12}\ \mathrm{m}$ en ordre de grandeur.

• Les longueurs étudiées vont approximativement de $10^{-15}\ \mathrm{m}$ pour un proton à $10^{26}\ \mathrm{m}$ pour le rayon de l’Univers observable, soit environ 36 ordres de grandeur.

Compléments

• La distance Terre–Soleil est environ 390 fois plus grande que la distance Terre–Lune et vaut environ $1{,}5 \times 10^{8}\ \mathrm{km}$.

💡 Astuce mémo

Atome → Terre → Soleil → Univers

📖 2. Loi de gravitation de Newton

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de gravitation universelle : Newton — Affirme que deux corps ponctuels de masses m_A et m_B séparés par une distance d s’attirent avec une force proportionnelle au produit de leurs masses et inversement proportionnelle au carré de leur distance.

★ À maîtriser

📐 Formule — L’intensité de la force gravitationnelle entre deux masses vérifie $F=G\frac{m_A m_B}{d^2}$.

📌 Les forces exercées mutuellement par deux corps ont la même intensité, la même direction et des sens opposés, conformément à la troisième loi de Newton.

Compléments

📌 Si la distance entre deux masses est doublée, l’intensité de leur force gravitationnelle est divisée par quatre.

💡 Astuce mémo

Masses plus grandes et distance plus petite → force gravitationnelle plus intense

📖 3. Champ de pesanteur et poids

📝 Points essentiels

📐 Formule — L’intensité du champ gravitationnel à la surface d’une planète de masse M et de rayon R vérifie $g=G\frac{M}{R^2}$.

📐 Formule — Le poids d’un objet de masse m est donné par $P=mg$ et résulte de l’attraction gravitationnelle exercée par l’astre.

• À la surface de la Lune, le champ de pesanteur vaut environ 1,62 N/kg, soit environ un sixième de celui de la Terre, égal à 9,81 N/kg.

💡 Astuce mémo

Masse constante, poids variable selon g

📖 4. Variation de la pesanteur

★ À maîtriser

📐 Formule — À l’altitude h au-dessus de la Terre, le champ de pesanteur vérifie $g(h)=g_0\frac{R_T^2}{(R_T+h)^2}$.

• À 400 km d’altitude, le champ de pesanteur vaut environ 8,68 N/kg, tandis qu’à 35 800 km il vaut environ 0,224 N/kg.

• À l’intérieur d’une sphère homogène, le champ croît linéairement de zéro au centre à g_0 à la surface, puis il décroît comme 1/r^2 à l’extérieur.

Compléments

• À 10 km d’altitude, g vaut environ 9,78 N/kg et varie de moins de 0,3 % par rapport au sol.

💡 Astuce mémo

En profondeur, g augmente vers la surface ; en altitude, g diminue

📖 5. Calculs et incertitudes gravitationnels

★ À maîtriser

📌 Lors d’un calcul multiplicatif ou divisif, le résultat doit être conservé avec autant de chiffres significatifs que la donnée qui en possède le moins.

Compléments

📐 Formule — La masse de la Terre peut être déterminée par $M_T=\frac{g_0R_T^2}{G}$.

• La masse volumique moyenne de la Terre vaut environ $5{,}5\times10^3\ \mathrm{kg/m^3}$, supérieure à celle des roches de surface estimée à environ 2,7 g/cm³.

• Dans l’étude des incertitudes de la force gravitationnelle, l’incertitude relative liée à la distance peut dominer celle liée à G, car F dépend de 1/d^2.

📖 6. Superposition et sphères homogènes

★ À maîtriser

📌 La force gravitationnelle totale exercée sur un corps par plusieurs corps est la somme vectorielle des forces individuelles.

• Au milieu de deux masses identiques, les deux champs gravitationnels ont la même norme et des directions opposées, donc le champ résultant est nul.

📌 Pour une sphère homogène, le champ extérieur est identique à celui d’une masse ponctuelle de même masse placée en son centre.

Compléments

📐 Formule — Pour deux masses identiques m séparées de 2a, le champ au point P de la médiatrice situé à la distance h du milieu vaut $g_P=\frac{2Gmh}{(a^2+h^2)^{3/2}}$.

💡 Astuce mémo

Des champs opposés s’annulent au milieu de deux masses identiques

📖 7. Masses célestes et mouvement orbital

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une orbite circulaire autour d’un astre de masse M, la vitesse orbitale vérifie $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$ et la période vérifie $T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}$.

📐 Formule — En assimilant l’orbite terrestre à un cercle, la masse du Soleil vérifie $M_S=\frac{4\pi^2d^3}{GT^2}$.

Compléments

• La masse calculée de la Terre est environ $5{,}99\times10^{24}\ \mathrm{kg}$, en accord avec la valeur de référence 5,97 × 10^24 kg.

• La masse du Soleil calculée à partir de l’orbite terrestre vaut environ $1{,}99\times10^{30}\ \mathrm{kg}$.

💡 Astuce mémo

Attraction gravitationnelle → accélération centripète → orbite

📖 8. Satellites et systèmes à trois corps

🔑 Notions clés & Définitions

• Satellite géostationnaire : A une période de 24 h et paraît immobile dans le ciel pour un observateur au sol.

★ À maîtriser

• 🔄 Le maintien en orbite repose sur:
  1. L’attraction gravitationnelle terrestre.
  2. La vitesse tangentielle du satellite.
  3. La chute libre permanente autour de la Terre.

📐 Formule — Dans le système Terre–Lune, le point où les champs s’annulent vérifie $\frac{x}{d}=\frac{\sqrt{M_T}}{\sqrt{M_T}+\sqrt{M_L}}$, où x est la distance à la Terre.

📌 Dans le système Terre–Lune–Soleil, la force du Soleil sur la Lune peut être supérieure à celle de la Terre sur la Lune, mais le mouvement apparent de la Lune autour de la Terre dépend du référentiel géocentrique et de la dynamique relative.

Compléments

• Avec M_T/M_L≈81, le point d’équilibre Terre–Lune est situé à x/d=0,9, soit environ 3,456 × 10^5 km de la Terre et plus près de la Lune.

💡 Astuce mémo

Vitesse orbitale suffisante : satellite en orbite ; vitesse trop faible : chute

📊 Tableaux de synthèse

Dépendance de la force gravitationnelle