Fiche de révision : Mathématiques générales : nombres

📋 Plan du Cours

1. Vocabulaire et rigueur mathématiques
2. Entiers naturels et divisibilité
3. Entiers relatifs et puissances
4. Nombres rationnels et fractions
5. Nombres décimaux
6. Nombres réels
7. Propriétés des nombres réels
8. Inégalités et valeur absolue
9. Ensembles et intervalles réels
10. Bornes, extrema et partie entière
11. Équations et polynômes
12. Équations du second degré
13. Polynômes de degré supérieur
14. Droites et cercles du plan
15. Systèmes linéaires deux par deux
16. Sommes, produits et coefficients
17. Cercle trigonométrique et fonctions
18. Fonctions sinus et cosinus

📖 1. Vocabulaire et rigueur mathématiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Définition mathématique : Introduit une notion et la caractérise par ses attributs.
• Axiome : Euclide — Assertion acceptée comme vraie à partir de laquelle on cherche à établir d’autres assertions.
• Conjecture : Assertion mathématique dont on ignore la valeur de vérité mais que l’on s’attend à voir vraie ; une fois prouvée, elle devient un théorème.

★ À maîtriser

📌 Une assertion est une phrase dont on cherche à déterminer si elle est vraie ou fausse, tandis qu’une consigne comme « Calculer 1 + 2 » n’est pas une assertion.

📌 Une démonstration ou preuve est un raisonnement établissant qu’une assertion découle logiquement des axiomes ou d’assertions déjà démontrées, tandis qu’un théorème est l’assertion ainsi établie.

Compléments

• Un lemme sert d’intermédiaire pour démontrer un théorème plus important, tandis qu’un corollaire découle directement d’un théorème.

💡 Astuce mémo

Définir → énoncer → démontrer → conclure

📖 2. Entiers naturels et divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Contient les nombres 0, 1, 2, 3, … et se note N.
• Addition : L’addition associe à deux entiers naturels a et b leur somme a + b et vérifie notamment la commutativité, l’associativité, l’existence de 0 comme élément neutre et la simplification.
• Multiplication : La multiplication associe à deux entiers naturels a et b leur produit ab et vérifie notamment la commutativité, l’associativité, la distributivité, l’élément neutre 1 et l’élément annulateur 0.
• Relation d’ordre : Sur N, la relation ≤ est réflexive, antisymétrique, transitive et totale, et elle est compatible avec l’addition ainsi qu’avec la multiplication par un entier strictement positif.
• Divisibilité : Pour des entiers naturels a et b, b divise a s’il existe un entier k tel que a = kb ; dans ce cas, a est un multiple de b et b est un diviseur de a.

★ À maîtriser

📌 Dans une expression contenant additions et multiplications, les multiplications sont effectuées avant les additions, sauf si des parenthèses imposent un autre ordre.

• Un entier est pair s’il est de la forme 2k et impair s’il est de la forme 2k + 1 pour un entier naturel k.

Compléments

📌 Un entier est divisible par 2 si son chiffre des unités vaut 0, 2, 4, 6 ou 8, et il est divisible par 5 si son chiffre des unités vaut 0 ou 5.

💡 Astuce mémo

Additionner réorganise les termes ; multiplier distribue sur la somme

📖 3. Entiers relatifs et puissances

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers relatifs : Contient les entiers naturels et leurs opposés négatifs −1, −2, −3, … ; il se note Z.
• Opposé : Pour tout entier relatif a, son opposé −a est l’unique entier relatif x tel que a + x = 0.
• Soustraction : Pour a et b entiers relatifs, la différence a − b est définie par a + (−b).
• Puissance entière : Pour a entier relatif, on définit $a^0=1$ et, pour n naturel non nul, $a^n$ comme le produit de n facteurs égaux à a.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour tout entier relatif a et tout entier naturel n, $a^{n+1}=a\times a^n$.

📐 Formule — Pour des entiers relatifs a et b et des entiers naturels n et m, $a^n b^n=(ab)^n$, $a^n a^m=a^{n+m}$ et $(a^n)^m=a^{nm}$.

💡 Astuce mémo

Soustraire revient à additionner l’opposé ; diviser reviendra à multiplier par l’inverse

📖 4. Nombres rationnels et fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres rationnels : Le quotient a/b d’un entier a par un entier non nul b, et l’ensemble des nombres rationnels se note Q.
• Fraction irréductible : Une fraction a/b avec b naturel non nul est irréductible si a et b sont premiers entre eux, c’est-à-dire si leur seul diviseur positif commun est 1.
• Puissance entière relative : Pour a rationnel non nul et n naturel non nul, la puissance entière relative est définie par $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, en plus de la définition usuelle des puissances positives.

📝 Points essentiels

• Les inclusions entre les ensembles de nombres sont N ⊂ Z ⊂ Q.

📐 Formule — Pour des dénominateurs non nuls, $\frac{a}{b}+\frac{a'}{b'}=\frac{ab'+a'b}{bb'}$.

📐 Formule — Pour des dénominateurs non nuls, $\frac{a}{b}\times\frac{a'}{b'}=\frac{aa'}{bb'}$ et, lorsque a' est non nul, $\frac{a/b}{a'/b'}=\frac{ab'}{ba'}$.

💡 Astuce mémo

Une fraction est une balance : le numérateur au-dessus, le dénominateur non nul en dessous

📖 5. Nombres décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre décimal : Un nombre décimal est un nombre x tel qu’il existe n naturel vérifiant $10^n x\in Z$, ce qui équivaut à pouvoir l’écrire sous la forme $N/10^n$ avec N entier.
• Écriture scientifique : Tout nombre décimal non nul s’écrit de manière unique sous la forme $x=\pm a\times10^n$ avec $1\leq a<10$ et n entier.

★ À maîtriser

📌 Un nombre rationnel peut avoir une écriture décimale infinie ultimement périodique, comme 1/3 = 0,333…, alors qu’un nombre décimal possède une écriture décimale limitée.

Compléments

• L’écriture décimale d’un nombre entier repose sur les puissances de dix : le chiffre placé au rang k + 1 en partant de la droite est multiplié par $10^k$.

💡 Astuce mémo

La virgule se déplace selon les puissances de dix

📖 6. Nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres réels : Un nombre positif ou négatif dont le développement décimal peut être fini ou infini ; l’ensemble des nombres réels se note R.

★ À maîtriser

📌 L’axiome d’Archimède affirme que pour tous réels a > 0 et b > 0, il existe n dans N tel que na > b.

Compléments

• Les nombres π, e et √5 sont des nombres réels irrationnels.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

📖 7. Propriétés des nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre réel : Nombre positif ou négatif qui s’écrit avec un nombre fini ou infini de décimales, et l’ensemble de ces nombres est noté R.

★ À maîtriser

📌 Les nombres réels qui ne sont pas rationnels sont appelés nombres irrationnels, tandis que R+ et R− désignent respectivement les réels positifs ou nuls et les réels négatifs ou nuls.

• Les ensembles de nombres sont emboîtés selon N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

📌 Pour x,y ∈ R, xy = 0 si et seulement si x = 0 ou y = 0.

📐 Formule — Pour a,b ∈ R, $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ et $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ .

Compléments

📌 Pour tous réels a > 0 et b > 0, il existe n ∈ N tel que na > b, ce qui constitue l’axiome d’Archimède.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

📖 8. Inégalités et valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Définie par |x| = x si x ≥ 0 et |x| = −x si x < 0.

📝 Points essentiels

• L’ordre réel est compatible avec l’addition, et la multiplication conserve le sens d’une inégalité lorsqu’elle est effectuée par un nombre strictement positif.

• Si a ≤ b, alors −a ≥ −b, et si a < b, alors −a > −b.

• Un produit est positif ou nul si ses facteurs sont de même signe, et il est négatif ou nul si ses facteurs sont de signes opposés.

• Si 0 < a < b, alors 1/a > 1/b > 0, tandis que le passage à l’inverse ne retourne pas le sens lorsque les nombres sont de signes opposés.

📐 Formule — Pour tous réels x et y, $|x+y|\leq |x|+|y|$ et $|x-y|\geq \left||x|-|y|\right|$ .

💡 Astuce mémo

Même signe : produit positif ; signes opposés : produit négatif

📖 9. Ensembles et intervalles réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Ensemble convexe qui contient, avec deux de ses éléments, tous les nombres compris entre eux.
• Inclusion : Si tout élément de A appartient à B, ce qui se note A ⊂ B.
• Quantificateurs : Le quantificateur universel ∀ signifie « pour tout », tandis que le quantificateur existentiel ∃ signifie « il existe au moins un ».
• Opérations ensemblistes : La réunion A ∪ B contient les éléments appartenant à A ou à B, l’intersection A ∩ B ceux appartenant à A et à B, et A \ B les éléments de A qui ne sont pas dans B.
• Produit cartésien : Le produit cartésien X × Y est l’ensemble des couples (x,y) tels que x ∈ X et y ∈ Y, et X1 × ··· × Xn est l’ensemble des n-uplets correspondants.

💡 Astuce mémo

∪ signifie « ou », ∩ signifie « et »

📖 10. Bornes, extrema et partie entière

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble borné : À la fois majoré et minoré.
• Maximum et minimum : a est le maximum de A si a ∈ A et si tout x ∈ A vérifie x ≤ a, tandis que a est le minimum de A si a ∈ A et si tout x ∈ A vérifie x ≥ a.
• Partie entière : Pour tout réel x, la partie entière ⌊x⌋ est l’unique entier n vérifiant n ≤ x < n + 1, c’est-à-dire le plus grand entier inférieur ou égal à x.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Un ensemble A ⊂ R est borné si et seulement s’il existe K ≥ 0 tel que pour tout x ∈ A, $|x|\leq K$.

• L’intervalle [a,b] possède pour minimum a et pour maximum b, tandis que l’intervalle ]a,b[ ne possède ni minimum ni maximum.

💡 Astuce mémo

La partie entière est le plus grand entier placé juste à gauche de x

📖 11. Équations et polynômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation : Égalité entre deux expressions contenant une ou plusieurs inconnues, dont la résolution consiste à déterminer les valeurs qui vérifient cette égalité.
• Équation du premier degré : Une équation du premier degré s’écrit ax+b=0 avec a ≠ 0 et admet l’unique solution réelle x=−b/a.
• Racine carrée : Pour a ≥ 0, l’unique réel x ≥ 0 tel que x²=a, noté √a.

📝 Points essentiels

📌 Pour tout réel a, on a √(a²)=|a|.

📌 L’équation x²=a n’a aucune solution réelle si a<0, une solution x=0 si a=0, et deux solutions x=√a et x=−√a si a>0.

📐 Formule — Pour ax²+bx+c=0 avec a≠0, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$.

• Le nombre de racines réelles dépend du discriminant:
  • Δ<0 : aucune racine réelle
  • Δ=0 : une racine réelle double
  • Δ>0 : deux racines réelles distinctes

💡 Astuce mémo

Premier degré → racines → discriminant

📖 12. Équations du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : de l’équation du second degré $ax^2+bx+c=0$ est $\Delta=b^2-4ac$.

📝 Points essentiels

• Si $\Delta<0$, l’équation du second degré n’a aucune solution réelle et le polynôme garde partout le signe de $a$.

• Si $\Delta=0$, l’unique solution est $x_0=-\frac{b}{2a}$ et le polynôme s’écrit $f(x)=a(x-x_0)^2$.

• Si $\Delta>0$, les deux solutions réelles sont $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$, et $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

💡 Astuce mémo

Discriminant → racines → factorisation → signe

📖 13. Polynômes de degré supérieur

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynomiale : s’écrit $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ avec $a_n\neq0$, et un réel $\alpha$ est une racine si $P(\alpha)=0$.

★ À maîtriser

📌 Un réel $\alpha$ est racine d’un polynôme $P$ si et seulement si $P(x)=(x-\alpha)Q(x)$ pour un polynôme $Q$ de degré inférieur d’une unité.

• Pour factoriser un polynôme de degré supérieur ou égal à trois, on trouve une racine évidente ou suggérée, on extrait le facteur associé, puis on recommence jusqu’à obtenir des facteurs de degré deux.

Compléments

• Le théorème d’Abel indique qu’à partir du degré cinq, les racines ne s’expriment généralement pas à partir des coefficients avec les quatre opérations et les racines n-ièmes.

💡 Astuce mémo

Racine trouvée → facteur extrait → degré abaissé

📖 14. Droites et cercles du plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation cartésienne d’une droite : L’ensemble des points $M(x,y)$ vérifiant $ay+bx+c=0$, avec $a$ et $b$ non tous deux nuls, est une droite du plan.
• Équation d’un cercle : Le cercle de centre $C(x_0,y_0)$ et de rayon $r\geq0$ est l’ensemble des points vérifiant $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$.

📝 Points essentiels

📌 Si $a=0$, la droite est verticale et son équation est $x=-\frac{c}{b}$, tandis que si $a\neq0$ elle s’écrit $y=\alpha x+\beta$.

📐 Formule — Pour deux points distincts $M_1(x_1,y_1)$ et $M_2(x_2,y_2)$ avec $x_1\neq x_2$, le coefficient directeur de leur droite est $\alpha=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

💡 Astuce mémo

Droite : relation affine ; cercle : distance constante

📖 15. Systèmes linéaires deux par deux

🔑 Notions clés & Définitions

• Système linéaire : s’écrit $\begin{cases}ax+by=\alpha\\cx+dy=\beta\end{cases}$, où $x$ et $y$ sont les inconnues réelles.

📝 Points essentiels

• 🔄 La substitution se déroule ainsi:
  1. Exprimer une inconnue en fonction de l’autre
  2. Injecter cette relation dans la seconde équation
  3. Résoudre l’équation à une inconnue
  4. Réinjecter la valeur obtenue

📌 Remplacer une ligne par elle-même additionnée d’un multiple d’une autre ligne conserve exactement l’ensemble des solutions du système.

📌 Un système linéaire peut avoir une solution unique, aucune solution ou une infinité de solutions.

💡 Astuce mémo

Isoler → substituer → résoudre → réinjecter

📖 16. Sommes, produits et coefficients

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme finie : Pour des réels $a_p,\ldots,a_n$ avec $p\leq n$, la somme finie est $\sum_{k=p}^{n}a_k=a_p+a_{p+1}+\cdots+a_n$.
• Coefficient binomial : Pour $p\in\{0,\ldots,n\}$, le coefficient binomial est $\binom np=\frac{n!}{(n-p)!p!}$, et il vaut $0$ si $p$ n’appartient pas à cet intervalle.

★ À maîtriser

📐 Formule — La linéarité donne $\sum_{k=p}^{n}(\lambda a_k)=\lambda\sum_{k=p}^{n}a_k$ pour tout réel $\lambda$ indépendant de l’indice.

📐 Formule — Une somme télescopique vérifie $\sum_{k=p}^{n}(a_k-a_{k+1})=a_p-a_{n+1}$, car les termes intermédiaires se compensent.

📐 Formule — La formule de Gauss est $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ pour tout $n\in\mathbb N$.

📐 Formule — Pour $a\neq1$, la somme géométrique vérifie $\sum_{k=0}^{n}a^k=\frac{1-a^{n+1}}{1-a}$.

📐 Formule — La formule du binôme de Newton est $(x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom nk x^ky^{n-k}$ pour tout $x,y\in\mathbb R$ et tout $n\in\mathbb N$.

Compléments

📌 Par convention, une somme dont la borne supérieure est inférieure à la borne inférieure vaut $0$ et un produit correspondant vaut $1$.

💡 Astuce mémo

Indicer → transformer → télescoper → appliquer une formule

📖 17. Cercle trigonométrique et fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle trigonométrique : est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, dont le périmètre vaut $2\pi$.
• Mesure principale : d’un angle orienté est sa mesure située dans l’intervalle $]-\pi,\pi]$.
• Sinus et cosinus : Pour un réel $x$, le cosinus est l’abscisse et le sinus l’ordonnée du point du cercle trigonométrique obtenu après une rotation orientée d’angle $x$ depuis le vecteur unité.

📝 Points essentiels

• Un angle droit mesure $\frac{\pi}{2}$ radians et un angle plat mesure $\pi$ radians.

📐 Formule — Le sinus et le cosinus sont périodiques de période $2\pi$ : $\cos(x+2k\pi)=\cos(x)$ et $\sin(x+2k\pi)=\sin(x)$ pour tout $k\in\mathbb Z$.

💡 Astuce mémo

Un point tourne sur le cercle : son abscisse donne le cosinus, son ordonnée le sinus

📖 18. Fonctions sinus et cosinus

🔑 Notions clés & Définitions

• Sinus et cosinus : l’abscisse et sin(x) l’ordonnée du point du cercle trigonométrique atteint par l’angle orienté x.
• Tangente : définie par $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$.
• Fonction exponentielle : l’unique fonction dérivable f de R vers R vérifiant $f'=f$ et $f(0)=1$ ; on la note $\exp(x)=e^x$.
• Logarithme népérien : la fonction réciproque de l’exponentielle et il est défini uniquement sur ]0,+∞[.
• Logarithme décimal : défini par $\log_{10}(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(10)}$.
• Fonctions puissance : définie par $x^y=\exp(y\ln(x))$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout réel x et tout entier k, $\cos(x+2k\pi)=\cos(x)$ et $\sin(x+2k\pi)=\sin(x)$.

📐 Formule — Pour tout réel x, $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$.

📐 Formule — Pour tout réel x où elle est définie et tout entier k, $\tan(x+k\pi)=\tan(x)$ ; la tangente est donc π-périodique.

📐 Formule — Pour tous réels a et b, $\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$ et $\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)$.

📐 Formule — Pour tous réels x et y, $\exp(x)>0$, $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$, et l’exponentielle est strictement croissante.

📐 Formule — Pour tous a,b>0, $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$, $\ln(1/a)=-\ln(a)$ et $\ln(a/b)=\ln(a)-\ln(b)$.

📐 Formule — Pour x>0 et a,b réels, $x^0=1$, $x^a x^b=x^{a+b}$, $\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}$ et $(x^a)^b=x^{ab}$.

Compléments

• Les valeurs particulières à connaître sont:
  • à 0, le cosinus vaut 1 et le sinus 0
  • à π/6, ils valent respectivement √3/2 et 1/2
  • à π/4, ils valent tous deux √2/2
  • à π/3, ils valent respectivement 1/2 et √3/2
  • à π/2, ils valent respectivement 0 et 1

📐 Formule — Pour tout réel x où elle est définie, $\tan(-x)=-\tan(x)$ et $\frac{1}{\cos^2(x)}=1+\tan^2(x)$.

• Un signal $f(t)=A\sin(\omega t+\varphi_0)$ se réécrit $f(t)=\alpha\cos(\omega t)+\beta\sin(\omega t)$ en posant $\alpha=A\sin(\varphi_0)$ et $\beta=A\cos(\varphi_0)$.

💡 Astuce mémo

Sur le cercle trigonométrique, cosinus = abscisse et sinus = ordonnée.

📊 Tableaux de synthèse

Inclusions des ensembles de nombres

Cas du discriminant