QCM : Mathématiques générales : nombres — 67 questions

Explication

Une définition introduit une notion et précise les attributs qui la caractérisent. Une assertion encore incertaine correspond plutôt à une conjecture.

Explication

Une assertion est une phrase à laquelle on peut attribuer une valeur de vérité, comme la phrase sur le nombre 7. Les autres formulations sont des consignes et ne sont donc ni vraies ni fausses.

Explication

Un axiome est accepté comme vrai sans démonstration et sert de point de départ au raisonnement mathématique. Un théorème est une assertion établie par une preuve.

Explication

Une démonstration est le raisonnement qui montre qu’une assertion découle logiquement d’axiomes ou d’assertions déjà démontrées. L’assertion obtenue par ce raisonnement est le théorème, et non la preuve elle-même.

Explication

Les entiers naturels comprennent 0 ainsi que les entiers positifs. L’ensemble commençant par 1 représente les naturels non nuls, tandis que l’ensemble contenant les négatifs correspond aux entiers relatifs.

Explication

Ajouter 0 à un entier naturel ne change pas sa valeur, ce qui fait de 0 l’élément neutre de l’addition. Le nombre 0 est en revanche un élément annulateur pour la multiplication.

Explication

La distributivité consiste à multiplier chaque terme de la somme par le facteur extérieur, puis à additionner les résultats. Les autres égalités ne respectent pas cette règle de calcul.

Explication

La multiplication est effectuée avant l’addition : $3\times4=12$, puis $7+12=19$. Le résultat $40$ proviendrait d’une addition effectuée avant la multiplication.

Explication

Les entiers relatifs regroupent les entiers naturels et leurs opposés négatifs, notamment $-1,-2,-3$. Les nombres rationnels ou décimaux forment des ensembles plus vastes.

Explication

L’opposé de $-7$ est $7$, car leur somme vaut zéro. L’inverse multiplicatif de $-7$ serait une autre notion et ne correspond pas à l’opposé additif.

Explication

Soustraire $b$ revient à additionner son opposé, donc $a-b=a+(-b)$. Les autres expressions changent le signe de termes qui ne doivent pas l’être ou transforment la soustraction en addition.

Explication

La relation de récurrence ajoute un facteur $a$ à la puissance $a^n$, d’où $(-2)^4=(-2)\times(-2)^3$. Une multiplication par l’exposant ou une addition ne définit pas une puissance suivante.

Explication

Un nombre rationnel est le quotient de deux entiers, avec un dénominateur non nul. Le numérateur peut être nul, ce qui exclut la condition proposée dans la deuxième réponse.

Explication

Tout naturel est un entier et tout entier est un rationnel, d’où $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}$. Les autres relations inversent au moins une de ces inclusions.

Explication

Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur ont pour seul diviseur positif commun 1. Le fait que les deux nombres soient premiers n’est pas nécessaire.

Explication

L’addition s’effectue en formant un dénominateur commun, ce qui donne $\frac{ab'+a'b}{bb'}$. Le produit $\frac{aa'}{bb'}$ correspond à la multiplication des fractions, pas à leur addition.

Explication

Un nombre décimal est représentable par $\frac{N}{10^n}$, ce qui revient à vérifier que $10^n x$ est entier pour un certain naturel $n$. Une écriture périodique peut caractériser un rationnel qui n’est pas décimal, comme $\frac{1}{3}$.

Explication

Certains rationnels, comme $\frac{1}{3}=0,333\ldots$, ont une écriture décimale infinie périodique, alors qu’un nombre décimal possède une écriture limitée. Les nombres décimaux restent des nombres rationnels et peuvent être négatifs.

Explication

La forme normalisée est $x=\pm a\times10^n$, où le coefficient vérifie $1\leq a<10$ et l’exposant est entier. Cette contrainte place un seul chiffre non nul avant la virgule.

Explication

Un réel peut être positif ou négatif et son développement décimal peut être fini ou infini. La périodicité caractérise certains rationnels, mais elle ne décrit pas l’ensemble des réels.

Explication

L’axiome affirme qu’en multipliant un réel strictement positif $a$ par un naturel suffisamment grand, on dépasse tout réel strictement positif $b$. Il ne garantit ni l’égalité avec $b$ ni une comparaison fondée sur une puissance ou une addition.

Explication

$\sqrt{2}$ est un nombre réel irrationnel, car il ne peut pas s’écrire comme le quotient de deux entiers. Les trois autres nombres sont rationnels, puisqu’ils sont entiers ou représentables par une fraction d’entiers.

Explication

Dans les réels, un produit est nul si et seulement si au moins l’un de ses facteurs est nul. L’égalité du produit à zéro ne force donc pas les deux facteurs à être nuls.

Explication

La différence de deux carrés se factorise selon $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$. Le développement de $(a-b)^2$ contient en plus le terme $-2ab$, il ne donne donc pas la même expression.

Explication

La multiplication par un nombre strictement positif conserve l’ordre, donc $3a<3b$. La multiplication par un nombre négatif inverse le sens, tandis que les deux autres transformations ne fournissent pas la conservation demandée.

Explication

Prendre l’opposé inverse le sens de l’inégalité, d’où $-a\geq-b$. L’addition d’un même nombre aux deux membres, elle, conserve le sens de l’inégalité.

Explication

Un produit strictement positif résulte de deux facteurs non nuls de même signe, notamment deux facteurs strictement positifs. Des facteurs de signes opposés donnent un produit négatif, tandis qu’un facteur nul rend le produit nul.

Explication

Pour deux nombres positifs, l’inversion renverse l’ordre : le plus petit nombre possède le plus grand inverse, et les deux inverses restent positifs. L’ordre proposé avec deux inverses négatifs ne correspond pas à l’hypothèse $0<a<b$.

Explication

Un intervalle est convexe : dès qu’il contient deux nombres, il contient également tous les réels compris entre eux. Il peut être constitué de rationnels et d’irrationnels et ne contient pas forcément zéro.

Explication

L’écriture $A\subset B$ signifie que chaque élément de $A$ est aussi un élément de $B$. L’affirmation inverse correspondrait à $B\subset A$, tandis que l’égalité exige une inclusion dans les deux sens.

Explication

Le quantificateur existentiel $\exists$ affirme l’existence d’au moins un élément satisfaisant une propriété. Le symbole $\forall$ signifie « pour tout », alors que $\in$ et $\subset$ indiquent respectivement l’appartenance et l’inclusion.

Explication

L’intersection contient les éléments présents à la fois dans $A$ et dans $B$ ; ici, il s’agit de $3$. La réunion contiendrait les quatre éléments distincts, tandis que la différence dépendrait de l’ordre des ensembles.

Explication

Un ensemble réel est borné lorsqu’il admet à la fois un majorant et un minorant. La finitude ou la présence d’un maximum ne sont pas nécessaires pour qu’un ensemble soit borné.

Explication

Le même réel $K$ doit majorer la valeur absolue de chaque élément de $A$. Si $K$ pouvait dépendre de $x$, cette condition ne garantirait pas que l’ensemble est borné.

Explication

Un maximum est un élément de l’ensemble qui est supérieur ou égal à tous les autres. Un majorant doit seulement être supérieur ou égal aux éléments, sans devoir appartenir à l’ensemble.

Explication

Les deux bornes appartiennent à l’intervalle fermé, donc $a$ est son minimum et $b$ son maximum. Cette propriété diffère de celle de l’intervalle ouvert $]a,b[$.

Explication

Résoudre une équation consiste à trouver les valeurs des inconnues qui vérifient l’égalité. Une transformation algébrique n’est utile que si elle permet d’identifier ces valeurs.

Explication

L’équation s’écrit $3x=12$, d’où $x=4$. Comme le coefficient de $x$ est non nul, l’équation du premier degré possède une solution réelle unique.

Explication

Par définition, $\sqrt{a}$ est la solution non négative de l’équation $x^2=a$. Lorsque $a>0$, l’autre solution éventuelle est $-\sqrt{a}$, qui n’est pas désignée par le symbole de la racine carrée.

Explication

La règle $\sqrt{a^2}=|a|$ donne ici $\sqrt{(-7)^2}=|-7|=7$. La racine carrée désigne une valeur non négative, même lorsque le nombre initial est négatif.

Explication

On applique $\Delta=b^2-4ac$ avec $a=2$, $b=-5$ et $c=3$, ce qui donne $\Delta=25-24=1$. La forme canonique ne fournit pas directement la définition du discriminant.

Explication

Un discriminant négatif signifie que l’équation n’a aucune solution réelle, donc le polynôme ne s’annule pas et conserve le signe de son coefficient dominant. La racine double correspond au cas $\Delta=0$.

Explication

Lorsque $\Delta=0$, l’unique racine est $x_0=-\frac{b}{2a}$ et le polynôme s’écrit $a(x-x_0)^2$. L’expression comportant $\sqrt{\Delta}$ doit alors être utilisée avec le dénominateur $2a$ et conduit à la même valeur seulement après simplification.

Explication

Ici, $\Delta=(-5)^2-4\times1\times6=1>0$, donc les racines sont $\frac{5-1}{2}=2$ et $\frac{5+1}{2}=3$. Les signes négatifs ne conviennent pas, car la somme des racines doit être égale à $5$.

Explication

Le degré est le plus grand exposant associé à un coefficient non nul, ici $5$. Une racine désigne plutôt une valeur $\alpha$ telle que $P(\alpha)=0$, ce qui ne détermine pas le degré.

Explication

Un réel $\alpha$ est racine si et seulement si $P(x)=(x-\alpha)Q(x)$ pour un polynôme $Q$ de degré inférieur d’une unité. La valeur de la racine n’impose ni le terme constant, ni le coefficient dominant, ni le degré.

Explication

La factorisation progressive consiste à trouver une racine, extraire le facteur correspondant, puis appliquer la même méthode jusqu’à obtenir des facteurs de degré deux. Une recherche directe en facteurs linéaires n’est pas toujours possible ni nécessaire.

Explication

Une droite est l’ensemble des points satisfaisant une équation affine en $x$ et $y$, avec $a$ et $b$ non tous deux nuls. Une somme de carrés et des termes quadratiques caractérisent plutôt des équations de cercle ou d’autres courbes.

Explication

Si $a=0$, l’équation se réduit à $bx+c=0$, donc $x=-\frac{c}{b}$, ce qui décrit une droite verticale. Une équation explicite en $y$ apparaît lorsque $a\neq0$.

Explication

Le coefficient directeur mesure la variation de $y$ divisée par la variation correspondante de $x$, soit $\alpha=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$. L’hypothèse $x_1\neq x_2$ garantit que le dénominateur est non nul.

Explication

La distance entre un point $M(x,y)$ et le centre $C(x_0,y_0)$ vaut $r$ lorsque $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$. Les autres expressions ne représentent pas la formule de la distance euclidienne au centre.

Explication

Un système linéaire contient des expressions affines en $x$ et $y$, comme les deux équations proposées. Les termes $x^2$, $\sin(x)$ et $xy$ introduisent une dépendance non linéaire.

Explication

La substitution consiste à isoler une inconnue, injecter son expression dans l’autre équation, résoudre l’équation obtenue, puis déterminer l’inconnue restante. L’addition de lignes correspond à une autre méthode de résolution.

Explication

Cette opération élémentaire conserve exactement les solutions, car elle remplace une équation par une combinaison équivalente avec une autre équation. Elle ne garantit pas qu’il existe une solution unique et n’impose aucune positivité.

Explication

Deux droites peuvent se couper en un point, être parallèles distinctes ou être confondues, ce qui correspond respectivement à une solution unique, aucune solution ou une infinité de solutions. Les autres catégories ne décrivent pas les possibilités générales du système.

Explication

Les bornes $2$ et $5$ imposent les termes allant de $a_2$ à $a_5$. La lettre $k$ est une variable muette, donc son nom ne modifie pas les termes additionnés.

Explication

La linéarité permet de sortir le facteur constant $\lambda$ de la somme. Ajouter $\lambda$ à chaque terme ou le multiplier par une puissance ne décrit pas cette propriété.

Explication

Dans cette somme télescopique, les termes intermédiaires se compensent deux à deux, laissant le premier terme moins le terme qui suit le dernier. La borne finale fait donc apparaître $a_{n+1}$.

Explication

La formule de Gauss donne $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$. L’expression $\frac{n(n-1)}{2}$ correspondrait à une autre somme, notamment celle des entiers de $1$ à $n-1$.

Explication

Le cercle trigonométrique est centré en $O$, possède un rayon égal à $1$ et est orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Son périmètre vaut alors $2\pi$, et non son rayon.

Explication

Un angle droit mesure $\frac{\pi}{2}$ radians, tandis qu’un angle plat mesure $\pi$ radians. L’ordre proposé est important car ces deux mesures ne représentent pas le même angle.

Explication

La mesure principale est la représentation de l’angle appartenant à l’intervalle $]-\pi,\pi]$. L’intervalle $[0,2\pi]$ peut servir à représenter des angles, mais ce n’est pas celui de la mesure principale définie ici.

Explication

Le cosinus est l’abscisse du point obtenu après la rotation d’angle $x$, tandis que le sinus en est l’ordonnée. Intervertir ces deux coordonnées constitue la confusion classique entre les fonctions.

Explication

Par définition, le cosinus fournit l’abscisse et le sinus l’ordonnée du point du cercle. Les autres associations échangent les coordonnées ou leur appliquent des opérations qui ne correspondent pas aux définitions.

Explication

Le sinus et le cosinus sont périodiques de période $2\pi$, donc l’ajout d’un multiple entier de $2\pi$ ne change pas leur valeur. La tangente possède une période différente, ce qui ne justifie pas les autres égalités.

Explication

Les coordonnées du point du cercle trigonométrique vérifient l’équation du cercle unité, d’où $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$. Une différence des carrés ou une somme non élevée au carré ne constitue pas cette identité.

Explication

La fraction est définie lorsque $\cos(x)$ est non nul, ce qui exclut les angles de mesure principale $\pm\frac{\pi}{2}$. À ces angles, le sinus vaut un nombre non nul tandis que le cosinus vaut zéro.