Fiche de révision : Histoire des mathématiques modernes

📋 Plan du Cours

1. Décrire et expliquer les phénomènes
2. Comprendre et interpréter les faits
3. Prévision et scientificité empirique
4. Prédictions de Neptune par Adams et Le Verrier
5. Mercure, Lune et limites newtoniennes
6. Réalisme et antiréalisme scientifiques
7. Pluralité des théories scientifiques et arguments du débat réaliste
8. Limites et variantes du phénoménisme
9. Le conventionnalisme scientifique
10. Isolationnisme et reconstruction scientifique
11. Unité et unification des sciences
12. Le modèle standard en physique
13. Rôle des mathématiques en physique
14. Repères dans l’histoire du calcul
15. Innovations mathématiques du XVIe siècle
16. Notations et calculs du XVIIe siècle
17. Développements mathématiques des XVIIIe et XIXe siècles
18. Émergence du concept d’inconnue

📅 Repères chronologiques

1. 628Brahmagupta publie le Brahmasphutasiddhânta, qui présente une maîtrise de la numération décimale de position avec neuf chiffres et le zéro, ainsi que des règles sur les nombres positifs et négatifs et une théorisation du zéro comme nombre nul.
2. 820-850Les œuvres d’Al Khuwarizmi contribuent à diffuser les chiffres indiens, les méthodes de calcul et l’algèbre indienne dans les pays d’Islam et l’Europe chrétienne; son nom latinisé en algorismus est à l’origine du mot algorithme, et le titre Al jabr wa’l muqabala du mot algèbre.
3. 1202Fibonacci publie le Liber Abaci et introduit dans le monde occidental l’art du calcul avec les neuf chiffres d’origine indienne. - Leonard de Pise (surnommé Fibonacci), Liber Abaci (« Traité de l’abaque »), 1202
4. 1484Nicolas Chuquet emploie le zéro et les méthodes indiennes, introduit les nombres négatifs en Europe occidentale et propose une notation des puissances de 10 comprenant des exposants positifs et négatifs.
5. 1489Johann Widmann d’Eger introduit les signes + et − à la place des lettres p et m, initiales des mots piu et minus.
6. 1781William Herschel a découvert Uranus et l’a identifiée comme une planète plutôt que comme une étoile.
7. 31 août 1846Le Verrier a présenté son mémoire décisif sur la planète responsable des anomalies d’Uranus, avec des déterminations de sa masse, de son orbite et de sa position. - Sur la planète qui produit les anomalies observées dans le comportement d’Uranus. Détermination de sa masse, de son orbite et de sa position actuelle
8. 23 septembre 1846Johann Galle a observé Neptune à la position prédite par Le Verrier en pointant son télescope depuis l’observatoire de Berlin.

📖 1. Décrire et expliquer les phénomènes

★ À maîtriser

• La valeur explicative d’un énoncé dépend en partie des croyances des individus et du niveau de description qu’ils admettent comme ultime, niveau qui peut varier selon les individus, les époques et les disciplines.

📌 Décrire consiste à rapporter fidèlement les faits au moyen d’énoncés d’observation, tandis qu’expliquer consiste à dire pourquoi les phénomènes se déroulent comme ils sont observés.

📌 Une explication au sens fort fait intervenir des causes inobservables, dites métaphysiques, tandis qu’une explication au sens faible ne fait intervenir que des causes observables.

Compléments

• Pierre Duhem a défendu l’idée que l’explication est étrangère au champ scientifique, car elle repose nécessairement sur des concepts métaphysiques qui échappent à l’expérimentation.

💡 Astuce mémo

Décrire dit comment ; expliquer cherche pourquoi.

📖 2. Comprendre et interpréter les faits

🔑 Notions clés & Définitions

• Interprétation : L’interprétation porte sur quelque chose qui lui préexiste et qui est indépendant d’elle, et elle admet plusieurs lectures possibles, ce qui lui confère un caractère subjectif.

★ À maîtriser

📌 Dans la philosophie des sciences, expliquer s’applique aux phénomènes naturels et les rapporte à des causes, tandis que comprendre s’applique aux faits humains et les rapporte à des raisons liées aux intentions.

Compléments

• Toute explication est une interprétation, mais l’interprétation n’est accompagnée de compréhension que dans les sciences humaines, et non dans les sciences de la nature.

💡 Astuce mémo

Les sciences de la nature expliquent des causes ; les sciences humaines comprennent des raisons.

📖 3. Prévision et scientificité empirique

★ À maîtriser

• Pour les sciences empiriques, la capacité de prévoir les phénomènes est considérée comme un critère de scientificité.

Compléments

• La prévision permet de produire des énoncés d’observation réfutables, ce qui est essentiel à la méthode expérimentale et nécessaire selon les falsificationistes.

• La réussite prédictive semble indiquer que les théories et les lois ne sont pas de pures fictions, mais ont un lien avec le monde réel.

• La possibilité de prévoir les phénomènes permet aux sciences empiriques d’agir sur le monde et leur confère une efficacité pratique.

💡 Astuce mémo

Prévoir rend les énoncés réfutables, relie les théories au réel et permet d’agir.

📖 4. Prédictions de Neptune par Adams et Le Verrier

★ À maîtriser

• La trajectoire observée d’Uranus ne correspondait pas aux prédictions tirées des lois de Newton et de Kepler, et ses anomalies dépassaient les erreurs de précision des télescopes et des calculs manuels de l’époque.

Compléments

• Dès 1835, des astronomes ont supposé qu’une neuvième planète perturbait l’orbite d’Uranus par attraction gravitationnelle.

• John Couch Adams avait prédit la position de Neptune en septembre 1845, presque un an avant Le Verrier, qui ignorait ses travaux.

💡 Astuce mémo

Anomalies d’Uranus → hypothèse d’une planète → calculs de Le Verrier → observation de Neptune.

📖 5. Mercure, Lune et limites newtoniennes

★ À maîtriser

• Le périhélie de Mercure tourne de 42 secondes d’angle par siècle.

• En 1915, Albert Einstein expliqua la trajectoire de Mercure en révisant la théorie de la gravitation dans le cadre de la relativité générale.

• La trajectoire de la Lune est gouvernée par la physique newtonienne, mais son évolution ne peut être prédite sur une durée arbitraire avec une précision infinie.

Compléments

• Pour expliquer le déplacement anormal du périhélie de Mercure, Le Verrier et d’autres astronomes postulèrent une planète perturbatrice appelée Vulcain, qui ne fut jamais observée.

• En 1890, Henri Poincaré analysa la structure des équations et introduisit les bases de la théorie du chaos, qui permet de comprendre le caractère imprévisible de la trajectoire lunaire.

💡 Astuce mémo

Mercure met en défaut la théorie ; la Lune met en défaut la prédiction.

📖 6. Réalisme et antiréalisme scientifiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Réalisme sémantique : Le réalisme sémantique considère qu’un énoncé est vrai si ses termes correspondent à des entités existant indépendamment dans la réalité extra-linguistique et si son contenu est vrai de cette réalité.
• Antiréalisme sémantique : L’antiréalisme sémantique admet l’usage des termes vrai et faux, mais considère que leur valeur dépend des connaissances et croyances actuelles et peut évoluer avec les décisions humaines.

★ À maîtriser

• L’antiréalisme ne rejette pas toute vérité : il admet que le monde extérieur, s’il existe, contraint l’élaboration des théories sans que celles-ci reproduisent sa structure intime.

• L’idéalisme soutient que le monde extérieur n’a pas d’existence autonome et qu’il est une représentation des sujets humains, tandis que le réalisme métaphysique affirme l’existence d’une réalité indépendante de l’être humain.

• Le réalisme scientifique considère que la théorie parfaite décrit exactement la réalité extérieure, tandis que l’antiréalisme, notamment l’instrumentalisme, traite les théories comme des outils commodes pour organiser les perceptions et agir sur le monde.

• Le réalisme naïf considère chaque énoncé vérifié comme vrai pour toujours et le progrès scientifique comme cumulatif, tandis que le réalisme convergent situe la ressemblance avec la réalité dans l’évolution globale des théories, dont certains énoncés peuvent être réfutés.

• Le réalisme utilise la vérité-correspondance comme critère de vérité, tandis que l’antiréalisme rejette la vérité-correspondance.

Compléments

• Pour le réalisme scientifique, le chercheur découvre des objets qui préexistent à la théorie, tandis que pour l’antiréalisme, il les invente.

• Le réalisme scientifique implique le réalisme métaphysique, tandis que l’antiréalisme scientifique est compatible aussi bien avec le réalisme métaphysique qu’avec l’idéalisme.

💡 Astuce mémo

Théorie-reflet du réaliste, théorie-outil de l’antiréaliste.

📖 7. Pluralité des théories scientifiques et arguments du débat réaliste

🔑 Notions clés & Définitions

• Argument du miracle de l’efficacité prédictive : L’argument du miracle de l’efficacité prédictive soutient qu’une théorie capable de prédire les phénomènes à l’avance doit correspondre à la réalité extérieure.

★ À maîtriser

• La réalité extérieure autonome, si elle existe, n’est accessible qu’au travers des théories, ce qui exclut une preuve directe du réalisme scientifique.

• Les énoncés d’observation et les énoncés théoriques universels ne sont pas vérifiables au sens strict : leur acceptation ou leur rejet relève d’un choix motivé, et non imposé par l’expérience.

• Les antiréalistes opposent à l’argument prédictif l’existence de théories empiriquement équivalentes, parfois contradictoires, comme les théories corpusculaire et ondulatoire de la lumière.

📌 Le réalisme scientifique affirme qu’il existe une seule théorie vraie, reflet d’une réalité extérieure autonome et unique.

📌 L’antiréalisme scientifique admet plusieurs théories concurrentes aux avantages différents, utilisables selon les besoins, puisque la réalité autonome est absente ou inaccessible.

Compléments

• Henri Poincaré, présenté comme antiréaliste scientifique, soutient que deux théories contradictoires peuvent servir d’instruments de recherche utiles si elles ne sont pas mêlées et ne prétendent pas révéler le fond des choses. - La quête de l’unité, 1996

• Pour les tenants du holisme épistémologique, la question de la valeur de vérité d’un énoncé pris isolément n’a pas de sens.

• Les réalistes répondent que la précision limitée des instruments rend les énoncés théoriques imprécis et permet la coexistence de théories concurrentes, alors que la vraie théorie-reflet serait exacte et unique.

💡 Astuce mémo

Théorie unique-reflet contre théories concurrentes-instruments

📖 8. Limites et variantes du phénoménisme

🔑 Notions clés & Définitions

• Phénoménisme : Le phénoménisme soutient que la science doit se limiter à représenter les phénomènes et à décrire les faits, sans dépasser l’expérience ni entreprendre d’explication.

★ À maîtriser

• Ernst Mach défend une variante sensualiste du phénoménisme selon laquelle seuls les faits sensibles sont à considérer et les lois sont des résumés commodes d’expériences. - La mécanique, exposé historique et critique de son développement, 1883

• Ludwig Boltzmann objecte au phénoménisme pur que les équations physiques reposent sur des cas simplifiés et idéalisés qui ne décrivent pas les phénomènes réels dans toute leur complexité.

📌 Le phénoménisme est incompatible avec le réalisme essentialiste, mais peut s’accorder avec un réalisme portant sur les perceptions, qui peuvent se rapporter à la réalité extra-linguistique, ainsi qu’avec l’antiréalisme.

Compléments

• Pour Mach, les véritables éléments du monde sont (Ernst Mach, 1883) :
  • les couleurs
  • les tons
  • les pressions
  • les espaces
  • les durées

📌 Le physicalisme, autre variante du phénoménisme, considère les objets de la vie quotidienne, comme une table, comme les éléments véritables que la science doit étudier.

💡 Astuce mémo

Mach privilégie les sensations, le physicalisme les objets quotidiens

📖 9. Le conventionnalisme scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Conventionnalisme : Henri Poincaré - Thèse selon laquelle les théories et les énoncés scientifiques sont des conventions décidées par les scientifiques pour des raisons de commodité ou d’efficacité, et auraient pu être différents.

★ À maîtriser

📌 Le conventionnalisme radical, illustré par Pierre Duhem, affirme que les observations ne contraignent en rien le scientifique et que les théories sont purement arbitraires, ce qui le rend incompatible avec le réalisme scientifique.

📌 Pour le conventionnalisme modéré défendu par Poincaré, l’expérience n’impose pas de théorie, mais elle guide le scientifique et les énoncés d’observation excluent les théories aberrantes.

Compléments

• Selon Poincaré, il est impossible de vérifier au sens strict les énoncés d’observation, qui peuvent seulement guider les choix du scientifique.

• Le conventionnalisme modéré est compatible avec le réalisme scientifique, car une théorie partiellement subjective peut retenir quelque chose du monde autonome extérieur.

📖 10. Isolationnisme et reconstruction scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Réductionnisme de méthode : Consiste à isoler du reste de l’univers les objets et les phénomènes étudiés afin de rendre leur analyse possible malgré la complexité du monde.

★ À maîtriser

• L’isolationnisme global délimite les domaines propres aux disciplines scientifiques, tandis que l’isolationnisme local limite chaque théorie à un ensemble fini d’objets, de lois ou de principes qui lui sont propres.

Compléments

• L’accroissement des connaissances rend impossible pour une seule personne de connaître tous les résultats d’une discipline ou même de sa sous-discipline spécialisée, ce qui rend nécessaire la délimitation de régions du savoir pour la recherche et l’enseignement.

• Les disciplines scientifiques construisent leurs propres paradigmes et programmes de recherche, tout en échangeant avec les disciplines proches et en partageant parfois des outils théoriques ou expérimentaux.

• La démarche réductionniste est pratiquée dans toutes les disciplines, y compris les sciences humaines et sociales, et Karl Popper la considère comme fondatrice de la science moderne.

📖 11. Unité et unification des sciences

🔑 Notions clés & Définitions

• Constructionnisme : Consiste à résoudre des sous-problèmes obtenus par division d’un problème initial, puis à combiner leurs solutions pour reconstruire une solution globale.

★ À maîtriser

📌 Le constructionnisme radical ou ontologique vise une théorie scientifique unique couvrant l’ensemble des disciplines, tandis que l’unité modérée de la science est méthodologique et repose sur des méthodes, des procédures de validation et des outils théoriques partagés.

📌 L’unification horizontale fusionne des branches ou sous-disciplines séparées au sein d’une discipline, tandis que l’unification verticale produit une théorie dont l’impact dépasse le champ des théories fusionnées.

Compléments

• Le programme mécaniste de Descartes concevait l’univers comme une machine explicable par les figures et les mouvements de ses parties.

• La biologie n’est pas une chimie appliquée, et la psychologie et la sociologie ne sont pas réductibles à la biochimie.

• Le réductionnisme est neutre vis-à-vis du réalisme et de l’antiréalisme, car la démarche réductionniste est compatible avec les deux positions.

• La théorie de Maxwell a réalisé au XIXe siècle une unification horizontale de la théorie de la lumière et de l’électromagnétisme.

• La mécanique quantique illustre l’unification verticale en unifiant la matière et le rayonnement.

📖 12. Le modèle standard en physique

📝 Points essentiels

• Le schéma d’évolution de la physique présente des unifications successives; les théories en rouge sont encore en développement ou restent à développer, et les flèches en pointillé représentent des liens espérés. - M. Crozon, L’univers des particules, 1999

📖 13. Rôle des mathématiques en physique

★ À maîtriser

• Galilée applique les mathématiques à la mécanique et la mécanique à l’astronomie, formant un ensemble cohérent de savoirs; cette démarche est classiquement associée à son texte Il Saggiatore, publié en 1623. - Il Saggiatore (L’Essayeur)

• Les mathématiques systématisent une théorie en reliant ses composants, en permettant de les combiner et en vérifiant leur compatibilité.

• À partir des lois et d’hypothèses particulières, comme les conditions initiales et aux limites, le calcul produit des énoncés d’observation qui permettent de prédire des résultats puis de les vérifier par des expériences adéquates.

📌 Une relation mathématique dérivée par calcul symbolique n’est pas automatiquement vérifiée ni intégrée à une théorie, car chaque loi possède un domaine de validité lié aux expériences qui l’ont établie.

Compléments

• Les lois de Newton et la loi de Boyle-Mariotte condensent chacune les résultats d’une infinité potentielle d’expériences en un énoncé théorique unique.

• Les mathématiques servent de langage commun aux scientifiques, indépendamment des facteurs psychologiques, politiques et culturels.

• La manipulation symbolique peut faire émerger de nouvelles lois; la première loi de Newton peut être découverte à partir de la seconde et du calcul différentiel.

📖 14. Repères dans l’histoire du calcul

★ À maîtriser

• Aux IVe-Ve siècles, l’Inde voit apparaître le zéro et la numération décimale de position, qui favorisent la généralisation de la notion de nombre et le développement de l’algèbre.

Compléments

• Au XVIIIe siècle avant notre ère, les savants mésopotamiens résolvent des équations du second degré, certaines équations du troisième et du quatrième degré et des systèmes de deux équations à deux inconnues, sans disposer de méthodes générales.

• Au Ve siècle avant notre ère, les Grecs de l’époque de Pythagore découvrent l’irrationalité de la racine de 2 et étudient le pair et l’impair ainsi que les nombres figurés.

• Au IIIe siècle avant notre ère, Archimède étend la numération grecque aux très grands nombres et établit l’encadrement $3 + \frac{10}{71} < \pi < 3 + \frac{10}{70}$; Euclide pose les fondements de la géométrie classique et étudie notamment les nombres premiers.

• Au IIIe siècle de notre ère, Diophante d’Alexandrie publie l’Arithmetica, où les fractions sont reconnues comme des nombres et où sont traitées systématiquement les équations du premier degré et de degrés supérieurs ainsi que l’analyse indéterminée.

• Au Xe siècle, Abu Kamil développe l’algèbre et Al Karaji travaille sur l’arithmétique des fractions, les équations de degré 2 et 2n et les nombres irrationnels.

📖 15. Innovations mathématiques du XVIe siècle

★ À maîtriser

• Entre 1545 et 1560, Gerolamo Cardano et Raffaele Bombelli introduisent les « nombres imaginaires », aujourd’hui appelés nombres complexes.

• En 1582, Simon Stévin publie De Thiende, premier ouvrage européen consacré à la théorie générale des fractions décimales.

• En 1594, John Napier découvre la correspondance entre les termes d’une progression géométrique et ceux d’une progression arithmétique, à l’origine des logarithmes.

Compléments

• Au XVIe siècle, le mathématicien allemand Rudolff introduit le symbole de la racine carrée √, abréviation de l’initiale R du nom latin du radical.

• En 1557, Robert Recorde introduit le symbole d’égalité =.

• En 1582, Simon Stévin substitue les fractions décimales aux fractions ordinaires et symbolise l’ordre des unités décimales, écrivant 679 (0) 5(1) 6(2) pour 679,56.

• En 1592, le mathématicien italien Magini introduit la notation anglo-saxonne actuelle du point décimal, comme dans 679.56.

📖 16. Notations et calculs du XVIIe siècle

★ À maîtriser

• En 1614, Napier élabore la théorie des logarithmes, introduit le terme « logarithme » et publie la première table de logarithmes en base e.

• En 1637, René Descartes invente la géométrie analytique, crée la notation algébrique moderne et introduit la notation exponentielle moderne pour les exposants positifs.

• Entre 1670 et 1684, Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz établissent les fondements du calcul infinitésimal moderne.

Compléments

• En 1608, Willebrord Snellius introduit la notation décimale à virgule, comme dans 679,56.

• En 1615, Henry Briggs propose les logarithmes décimaux ; en 1624, il publie une table à 14 décimales pour les entiers de 1 à 20 000 et de 90 000 à 100 000.

• En 1631, Thomas Hariot introduit les symboles d’inégalité < et >.

• En 1632, William Oughtred introduit le symbole de multiplication ×.

• En 1640, Pierre de Fermat établit les bases de l’analyse combinatoire.

• En 1654, Blaise Pascal établit les principes du calcul des probabilités en collaboration avec Pierre de Fermat et Georges de Méré.

• En 1656, John Wallis étend la notation exponentielle de Descartes aux exposants négatifs ou fractionnaires.

• En 1675, Leibniz invente le calcul différentiel et intégral.

• En 1696, le marquis de l’Hospital publie le premier traité classique de calcul différentiel, Analyse des infiniment petits.

📖 17. Développements mathématiques des XVIIIe et XIXe siècles

★ À maîtriser

• En 1748, Leonhard Euler publie un ouvrage d’étude générale des fonctions exponentielles, logarithmiques et trigonométriques, ainsi que de leurs développements en séries ou produits infinis.

• En 1797, Louis Lagrange crée la théorie des fonctions analytiques, qui fonde l’analyse mathématique moderne.

• Entre 1807 et 1822, Joseph Fourier étudie les séries trigonométriques, appelées séries de Fourier.

• Entre 1821 et 1857, Augustin Cauchy démontre l’existence de solutions aux équations différentielles et aux équations aux dérivées partielles.

Compléments

• En 1750, Gabriel Cramer réalise la première étude approfondie des systèmes d’équations.

• En 1770, Alexandre Vandermonde invente la théorie des substitutions.

• Après Cauchy, Lipschitz et Picard développent la théorie des équations différentielles.

• En 1837, William Rowan Hamilton publie une définition rigoureuse des nombres complexes comme couples de nombres réels.

• En 1843-1844, W. R. Hamilton et Grassmann publient les premiers travaux faisant apparaître le calcul vectoriel.

• En 1858, Arthur Cayley fonde le calcul matriciel.

📖 18. Émergence du concept d’inconnue

🔑 Notions clés & Définitions

• Inconnue : Valeur que l’on ne connaît pas et que l’on cherche en résolvant un problème, par exemple en déterminant les solutions de f(x)=0.

★ À maîtriser

• Dans la conception platonicienne exposée, ce qui est connu est assimilé à ce qui est nommé, défini et figuré, ce qui rend difficile la conception de l’inconnue abstraite.

• En 1591, François Viète introduit les expressions littérales en algèbre : les inconnues sont désignées par des voyelles et les constantes indéterminées par des consonnes.

• En 1637, René Descartes introduit la notation moderne où les données sont représentées par les premières lettres de l’alphabet et les inconnues par les dernières, notamment x, y et z.

Compléments

• La résolution formelle vise à isoler l’inconnue dans une expression de la forme x=….

• Selon Platon dans la Lettre VII (342a-e), les cinq facteurs de la connaissance sont :

  • le nom
  • la définition
  • la représentation ou figure
  • la connaissance en elle-même
  • la chose en elle-même

• Le calcul ancien se rapportait à des objets matériels et répondait à des fonctions concrètes comme le calcul de l’impôt ou le cadastre.

• Le scribe égyptien Ahmes désigne l’inconnue par des mots signifiant « masse », « tas », « monceau » ou « quantité » vers 1550 avant notre ère.

• Diophante désigne l’inconnue comme « un nombre d’unités indéterminé » et la représente par un signe tiré de la première syllabe du grec arithmos, « le nombre ».

• Les mathématiciens arabes et occidentaux médiévaux ainsi que les savants chinois désignent l’inconnue par le terme « chose », ou res en latin.

• En 1487, Lucas Pacioli emploie cosa (« la chose ») et parfois quantità pour une inconnue secondaire dans un ouvrage consacré notamment aux méthodes de résolution des équations algébriques.

💡 Astuce mémo

Du calcul matériel des « choses » à l’inconnue symbolique x

📊 Tableaux de synthèse

Deux échecs de la prédiction newtonienne

Deux formes d’unification scientifique