QCM : Intervalles et opérations ensemblistes (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle description définit correctement un intervalle réel ?

Un ensemble de nombres entiers compris entre deux valeurs successives
Un ensemble formé par deux nombres qui ne contient aucun nombre intermédiaire
Un ensemble de nombres possédant une seule borne, toujours incluse
Un ensemble de nombres situés entre deux bornes, incluses ou exclues selon le cas

Un ensemble de nombres situés entre deux bornes, incluses ou exclues selon le cas

Explication

Un intervalle regroupe les nombres compris entre deux bornes, chacune pouvant être incluse ou exclue. La description fondée sur des nombres entiers ne correspond pas nécessairement à un intervalle réel, qui peut contenir des nombres décimaux ou irrationnels.

2. Laquelle décrit correctement les intervalles I=[−2;1[I=[-2;1[ et J=]0;3[J=]0;3[ ?

II contient ses deux bornes, tandis que JJ exclut 00 mais contient 33
II exclut ses deux bornes, tandis que JJ contient 00 mais pas 33
II contient −2-2 mais pas 11, tandis que JJ exclut 00 et 33
II exclut −2-2 mais contient 11, tandis que JJ contient ses deux bornes

$$I$$ contient $$-2$$ mais pas $$1$$, tandis que $$J$$ exclut $$0$$ et $$3$$

Explication

Le crochet fermé en −2-2 indique que cette borne appartient à II, tandis que le crochet ouvert en 11 l’exclut. Les deux crochets ouverts de JJ excluent ses bornes 00 et 33.

3. Que représente la réunion de deux intervalles ?

L’ensemble des bornes communes aux deux intervalles
L’ensemble des nombres situés entre les bornes les plus proches
L’ensemble des nombres appartenant à au moins un des deux intervalles
L’ensemble des nombres appartenant simultanément aux deux intervalles

L’ensemble des nombres appartenant à au moins un des deux intervalles

Explication

La réunion rassemble tout nombre qui appartient à au moins un des deux intervalles. L’appartenance simultanée aux deux intervalles caractérise l’intersection, et non la réunion.

4. Pour I=[−2;1[I=[-2;1[ et J=]0;3[J=]0;3[, quelle est la réunion I∪JI\cup J ?

]−2;3[]-2;3[
]0;3[]0;3[
[−2;1[[-2;1[
[−2;3[[-2;3[

$$[-2;3[$$

Explication

Les deux intervalles se recouvrent entre 00 et 11, et leur réunion s’étend de −2-2 à 33. La borne −2-2 est incluse, tandis que 33 reste exclue, car elle n’appartient pas à JJ.

5. Que représente l’intersection de deux intervalles ?

L’ensemble des nombres appartenant aux deux intervalles à la fois
L’ensemble des nombres compris entre les deux bornes extérieures
L’ensemble des nombres correspondant aux bornes non communes
L’ensemble des nombres appartenant à l’un des deux intervalles ou aux deux

L’ensemble des nombres appartenant aux deux intervalles à la fois

Explication

L’intersection contient les nombres qui appartiennent simultanément aux deux intervalles. La condition d’appartenance à au moins un intervalle décrit la réunion, qui est généralement plus étendue.

6. Pour I=[−2;1[I=[-2;1[ et J=]0;3[J=]0;3[, quelle est l’intersection I∩JI\cap J ?

[−2;3[[-2;3[
]0;1[]0;1[
[−2;1[[-2;1[
]0;3[]0;3[

$$]0;1[$$

Explication

La zone commune aux deux intervalles se situe entre 00 et 11. Les deux bornes sont exclues : 00 n’appartient pas à JJ et 11 n’appartient pas à II.

7. Quand deux intervalles sont-ils dits disjoints ?

Lorsqu’ils n’ont aucun élément en commun et que leur intersection est vide
Lorsqu’ils possèdent une borne commune incluse dans les deux intervalles
Lorsqu’ils se recouvrent sur une partie située entre leurs deux bornes
Lorsqu’ils ont une réunion qui forme nécessairement un intervalle continu

Lorsqu’ils n’ont aucun élément en commun et que leur intersection est vide

Explication

Deux intervalles sont disjoints lorsqu’aucune valeur n’appartient aux deux, ce qui donne une intersection égale à ∅\varnothing. Des intervalles qui se touchent peuvent au contraire partager une borne et avoir un point commun.

8. Pour I=]2;4]I=]2;4] et J=[−3;2[J=[-3;2[, quelle affirmation décrit correctement leur réunion et leur intersection ?

La réunion est [−3;4][-3;4] et l’intersection est {2}\{2\}
La réunion est [−3;2[∪]2;4][-3;2[\cup]2;4] et l’intersection est ∅\varnothing
La réunion est [−3;4][-3;4] et l’intersection est ]2;4]]2;4]
La réunion est [−3;2[∪[2;4][-3;2[\cup[2;4] et l’intersection est {2}\{2\}

La réunion est $$[-3;2[\cup]2;4]$$ et l’intersection est $$\varnothing$$

Explication

Le nombre 22 est exclu de JJ parce que celui-ci est ouvert en 22, et il est exclu de II parce que II commence après 22. Les deux intervalles n’ont donc aucun élément commun, et leur réunion reste séparée en deux morceaux.

9. Si la borne −2-2 de I=[−2;1[I=[-2;1[ devient ouverte, quel effet cela produit-il sur I∪JI\cup J avec J=[−4;−2[J=[-4;-2[ ?

La réunion devient ]−4;1[]-4;1[, tandis que l’intersection contient toutes les valeurs de JJ
La réunion devient [−4;−2]∪]−2;1[[-4;-2]\cup]-2;1[, tandis que l’intersection reste vide
La réunion devient [−4;1[[-4;1[, tandis que l’intersection devient {−2}\{-2\}
La réunion devient [−4;−2[∪]−2;1[[-4;-2[\cup]-2;1[, tandis que l’intersection reste vide

La réunion devient $$[-4;-2[\cup]-2;1[$$, tandis que l’intersection reste vide

Explication

En rendant −2-2 ouverte dans II, ce point n’appartient plus à l’union, car il est déjà exclu de JJ. La réunion se sépare donc en deux intervalles, tandis qu’aucune valeur commune ne subsiste.

10. Pour I=[2;7[I=[2;7[ et J=]0;4]J=]0;4], quelles sont leur réunion et leur intersection ?

La réunion est [2;7[∪]0;4][2;7[\cup]0;4] et l’intersection est ∅\varnothing
La réunion est [2;4][2;4] et l’intersection est ]0;7[]0;7[
La réunion est ]0;7]]0;7] et l’intersection est ]2;4[]2;4[
La réunion est ]0;7[]0;7[ et l’intersection est [2;4][2;4]

La réunion est $$]0;7[$$ et l’intersection est $$[2;4]$$

Explication

La réunion rassemble les valeurs appartenant à l’un des deux intervalles et s’étend de 00 exclu à 77 exclu. Les valeurs communes vont de 22 inclus à 44 inclus, ce qui donne [2;4][2;4].

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Qu'est-ce qu'un intervalle en mathématiques ?

Un ensemble de nombres entre deux bornes, incluses ou exclues.

Qu'est-ce que la réunion de deux intervalles ?

L'ensemble des nombres appartenant à au moins un des deux intervalles.

Quelle est la réunion de I=[-2;1[$ et J=]0;3[$ ?

$$[-2;3[$

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