Fiche de révision : Intervalles et opérations ensemblistes

📋 Plan du Cours

1. Représentation des intervalles réels
2. Réunion de deux intervalles
3. Intersection de deux intervalles
4. Intervalles disjoints ou adjacents
5. Applications et influence des bornes

📖 1. Représentation des intervalles réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Ensemble de nombres compris entre deux bornes, lesquelles peuvent être incluses ou exclues.

📝 Points essentiels

• L’intervalle $I=[-2;1[$ est fermé en -2 et ouvert en 1, tandis que $J=]0;3[$ est ouvert en 0 et en 3.

• Sur une droite graduée, les crochets ouverts ou fermés indiquent respectivement l’exclusion ou l’inclusion des bornes.

💡 Astuce mémo

Crochet fermé = borne incluse ; crochet ouvert = borne exclue

📖 2. Réunion de deux intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Réunion : Ensemble des nombres qui appartiennent à au moins un des deux intervalles.

★ À maîtriser

• Pour $I=[-2;1[$ et $J=]0;3[$, la réunion est $I\cup J=[-2;3[$.

Compléments

📌 Dans une réunion, une borne est incluse dès qu’elle appartient à au moins un des intervalles concernés.

💡 Astuce mémo

La réunion recouvre tout ce qui est couvert par au moins un intervalle

📖 3. Intersection de deux intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : Ensemble des nombres qui appartiennent simultanément aux deux intervalles.

★ À maîtriser

• Pour $I=[-2;1[$ et $J=]0;3[$, l’intersection est $I\cap J=]0;1[$.

Compléments

📌 Les bornes de l’intersection sont déterminées par la zone commune et restent incluses seulement si elles appartiennent aux deux intervalles.

💡 Astuce mémo

L’intersection est la zone de chevauchement commune

📖 4. Intervalles disjoints ou adjacents

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalles disjoints : Intervalles qui n’ont aucun élément en commun, avec une intersection égale à l’ensemble vide $\varnothing$.

★ À maîtriser

• Pour $I=]2;4]$ et $J=[-3;2[$, la réunion est $[-3;2[\cup]2;4]$ et l’intersection est $\varnothing$, car 2 n’appartient à aucun des deux intervalles.

Compléments

• Pour $I=]-4;0]$ et $J=[2;4]$, on a $I\cup J=]-4;0]\cup[2;4]$ et $I\cap J=\varnothing$.

💡 Astuce mémo

Se toucher avec deux bornes fermées donne un point commun ; deux bornes ouvertes donnent le vide

📖 5. Applications et influence des bornes

★ À maîtriser

📌 Si la borne -2 de $I=[-2;1[$ devient ouverte, alors $I\cup J=[-4;-2[\cup]-2;1[$ au lieu d’un seul intervalle continu, tandis que l’intersection reste vide.

Compléments

• Pour $I=[2;7[$ et $J=]0;4]$, on obtient $I\cup J=]0;7[$ et $I\cap J=[2;4]$.

• Pour $I=[-2;1[$ et $J=[-4;-2[$, on obtient $I\cup J=[-4;1[$ et $I\cap J=\varnothing$.

💡 Astuce mémo

Modifier un crochet change l’appartenance de la borne et peut séparer la réunion

📊 Tableaux de synthèse

Réunion et intersection