Fiche de révision : Intrication quantique et cryptographie

📋 Plan du Cours

1. Crise de la physique classique
2. Rayonnement du corps noir
3. Effet photoélectrique
4. Expériences de Stern-Gerlach et diffraction
5. Rupture conceptuelle quantique
6. Principes quantiques pour la cryptographie
7. Protocoles et cryptographies quantiques
8. Cryptographie et perturbation du qubit
9. Réalisations physiques des qubits
10. Opérations unitaires et portes quantiques
11. Manipulation physique des qubits
12. Mesure et projection des états
13. Défis expérimentaux des qubits
14. États séparables et intriqués
15. États de Bell et corrélations
16. EPR et inégalités de Bell
17. Cryptographie par intrication
18. Limites expérimentales et réseaux

📅 Repères chronologiques

1. 1922Otto Stern et Walther Gerlach observent que le faisceau d’atomes d’argent traversant un champ magnétique non uniforme se sépare en deux taches distinctes.
2. 1924Louis de Broglie prédit qu’une particule de quantité de mouvement ppp est associée à une longueur d’onde λ=h/p\lambda=h/pλ=h/p.
3. 1927Clinton Davisson et Lester Germer montrent que des électrons envoyés sur un cristal de nickel produisent une figure de diffraction semblable à celle des ondes lumineuses.
4. 1935Einstein, Podolsky et Rosen ont proposé l’expérience de pensée EPR pour critiquer le caractère non local de la mécanique quantique.
5. 2015Des expériences dites sans échappatoires ont utilisé des détecteurs ultra-efficaces, des choix rapides et aléatoires des bases de mesure et une séparation empêchant toute influence lumineuse.

📖 1. Crise de la physique classique

★ À maîtriser

📌 La physique classique décrit efficacement la plupart des objets macroscopiques, tandis que les effets quantiques deviennent importants lorsque l’action caractéristique du système est comparable à la constante de Planck h.

Compléments

• Au début du XXe siècle, la physique reposait notamment sur la mécanique newtonienne (Isaac Newton, 1687), l’électromagnétisme (James Clerk Maxwell, 1865) et la thermodynamique et mécanique statistique.

• La longueur d’onde de de Broglie d’une balle de tennis est trop petite pour que sa diffraction soit observable dans les conditions ordinaires, tandis que celle d’un électron peut être comparable à l’espacement atomique d’un cristal.

📖 2. Rayonnement du corps noir

🔑 Notions clés & Définitions

• Corps noir : Objet idéal qui absorbe toute la lumière incidente et réémet un rayonnement électromagnétique dont le spectre dépend uniquement de sa température.

★ À maîtriser

• La loi de Rayleigh–Jeans décrit correctement les grandes longueurs d’onde, mais prédit une divergence de l’énergie lorsque $\lambda\to 0$, appelée catastrophe ultraviolette.

• En 1900, Max Planck propose que l’énergie des oscillateurs atomiques soit quantifiée selon $E=nh\nu$, avec $n\in\mathbb{N}$.

📐 Formule - Selon l’hypothèse de Planck, les échanges d’énergie se font par paquets de valeur $\Delta E=h\nu$, de sorte que les modes de haute fréquence sont plus difficiles à exciter à température fixée.

Compléments

📐 Formule - La loi de Rayleigh–Jeans donne la densité spectrale d’énergie du rayonnement du corps noir selon $u(\lambda,T)=\frac{8\pi k_B T}{\lambda^4}$.

📌 La quantification ne signifie pas que toutes les grandeurs physiques sont toujours discrètes : selon le système et ses conditions aux limites, une observable peut avoir un spectre discret, continu ou mixte.

💡 Astuce mémo

Quantification des échanges → disparition de la divergence ultraviolette

📖 3. Effet photoélectrique

★ À maîtriser

• L’effet photoélectrique présente une fréquence seuil en dessous de laquelle aucun électron n’est émis, quelle que soit l’intensité lumineuse.

• Einstein propose en 1905 que la lumière est constituée de photons d’énergie $E_{\text{photon}}=h\nu$.

📌 Dans le modèle élémentaire de l’effet photoélectrique, un électron est éjecté si l’énergie du photon dépasse le travail de sortie du métal, soit $h\nu>\phi$.

📐 Formule - L’énergie cinétique maximale des photoélectrons vérifie $E_{c,\max}=h\nu-\phi$.

📌 La fréquence détermine l’énergie de chaque photon, tandis que l’intensité lumineuse est liée au nombre de photons reçus par unité de temps et de surface.

Compléments

• L’effet photoélectrique correspond à l’émission d’électrons lorsqu’une lumière éclaire une surface métallique.

• Pour un métal de travail de sortie $\phi=2{,}2\,\text{eV}$ éclairé par des photons de $3{,}0\,\text{eV}$, l’énergie cinétique maximale des électrons est $0{,}8\,\text{eV}$.

💡 Astuce mémo

La fréquence règle l’énergie du photon ; l’intensité règle leur nombre

📖 4. Expériences de Stern-Gerlach et diffraction

★ À maîtriser

• Pour une particule de spin 1/2, la projection du spin suivant l’axe de mesure ne peut prendre que les valeurs $+\hbar/2$ et $-\hbar/2$.

📌 L’expérience de Stern–Gerlach mesure la projection du moment magnétique suivant l’axe défini par le champ, et non toutes les orientations possibles simultanément.

Compléments

📌 Le moment magnétique et le spin sont liés, mais constituent deux grandeurs physiques différentes et n’ont pas les mêmes unités.

• Un électron accéléré sous une tension de 150 V possède une longueur d’onde d’environ 0,10 nm, du même ordre de grandeur que les distances interatomiques d’un cristal.

💡 Astuce mémo

Le spin donne deux projections ; l’électron diffracte comme une onde

📖 5. Rupture conceptuelle quantique

★ À maîtriser

• En mécanique classique, la connaissance exacte de l’état initial permet en principe de prédire avec certitude l’état futur, tandis qu’en mécanique quantique elle permet seulement de prédire les probabilités des résultats de mesure.

• Certaines grandeurs quantiques, comme l’énergie, le moment angulaire et le spin, peuvent prendre des valeurs discrètes, contrairement à la continuité supposée en physique classique.

• La mécanique quantique admet la dualité onde-particule : les photons manifestent un comportement corpusculaire dans l’effet photoélectrique et les électrons un comportement ondulatoire dans la diffraction.

• En mécanique quantique, une mesure modifie l’état du système observé et le fait évoluer vers l’un des résultats possibles.

• La mécanique quantique admet des corrélations intriquées entre particules séparées par de grandes distances, plus fortes que celles autorisées par la physique classique.

Compléments

📌 La physique classique reste une approximation efficace à grande échelle et n’est pas annulée par la mécanique quantique, qui généralise la description aux phénomènes microscopiques.

📖 6. Principes quantiques pour la cryptographie

🔑 Notions clés & Définitions

• Superposition quantique : La superposition quantique est une combinaison linéaire de plusieurs états de base, utilisée pour transmettre de l’information de manière non classique et rendre sa lecture directe plus complexe pour un espion.

★ À maîtriser

📌 La sécurité de la cryptographie quantique repose sur des lois physiques, tandis que la cryptographie classique repose sur la difficulté de problèmes mathématiques.

📌 La distribution quantique de clés (QKD) vise à permettre à deux utilisateurs d’établir une clé commune et ne chiffre pas directement le message.

• Un système quantique, comme un photon polarisé ou un électron de spin 1/2, ne peut se trouver que dans certains états définis, ce qui permet de coder l’information dans un nombre limité de configurations comme |0〉 et |1〉 pour un qubit.

• Toute mesure quantique modifie l’état observé ; l’interception d’une communication par un tiers laisse donc une trace détectable sous la forme d’une augmentation du taux d’erreurs.

📌 Le théorème de non-clonage interdit de copier parfaitement un état quantique inconnu, empêchant un adversaire de dupliquer une clé quantique sans risque de détection.

Compléments

• Deux particules intriquées présentent des corrélations parfaites quelle que soit la distance qui les sépare, propriété utilisée pour établir des clés partagées sécurisées à grande distance avec le protocole E91.

💡 Astuce mémo

Mesure ou copie d’un état → perturbation détectable

📖 7. Protocoles et cryptographies quantiques

★ À maîtriser

• Le protocole BB84, attribué à Bennett et Brassard en 1984, exploite la polarisation des photons et la perturbation par mesure pour détecter un espion lors de la distribution quantique de clés.

📌 La cryptographie quantique utilise des systèmes quantiques pour réaliser des tâches cryptographiques, notamment la distribution de clés, tandis que la cryptographie post-quantique utilise des algorithmes classiques conçus pour résister aux attaques d’ordinateurs quantiques et fonctionne sur des réseaux et ordinateurs classiques.

Compléments

• Le protocole E91 repose sur l’intrication quantique et garantit que toute tentative d’interception modifie les corrélations observées.

• Les générateurs quantiques de nombres aléatoires exploitent l’imprévisibilité fondamentale des mesures quantiques pour produire de véritables suites aléatoires essentielles en cryptographie.

• Une architecture de sécurité future peut associer des algorithmes post-quantiques pour l’authentification et la distribution quantique de clés lorsque l’infrastructure le permet.

📖 8. Cryptographie et perturbation du qubit

📝 Points essentiels

• Un qubit peut représenter une infinité de combinaisons, mais une observation par un espion le projette sur l’un des deux résultats et introduit des erreurs détectables.

📌 Dans la cryptographie quantique, la sécurité repose sur l’impossibilité de mesurer un qubit préparé sur la sphère de Bloch sans perturber son état.

💡 Astuce mémo

Mesure de l’espion → perturbation → erreurs détectables

📖 9. Réalisations physiques des qubits

★ À maîtriser

📌 Les photons codent des bits quantiques par leur polarisation et sont adaptés à la transmission, tandis que les spins et les atomes servent surtout de modèles conceptuels ou de mémoires.

• Un photon peut coder |0〉 par une polarisation horizontale H et |1〉 par une polarisation verticale V ; les polarisations à 45° ou circulaires sont des superpositions de H et V.

• Dans le protocole BB84, les états de polarisation des photons servent à coder les bits quantiques d’une clé secrète.

Compléments

• Les photons se transportent sur de longues distances par fibre optique ou espace libre et se manipulent avec des prismes, des miroirs et des lames biréfringentes, mais leur transmission subit des pertes et du bruit environnemental.

• L’expérience de Stern-Gerlach de 1922 a séparé un faisceau d’atomes d’argent en deux directions dans un champ magnétique inhomogène, montrant que la projection du spin prend deux valeurs discrètes.

• Les atomes à deux niveaux utilisent l’état fondamental et le premier état excité ; des lasers permettent de provoquer les transitions entre ces niveaux.

• Les ions piégés offrent des durées de cohérence pouvant atteindre plusieurs minutes et un contrôle précis, mais leur manipulation est lente et leur instrumentation complexe.

• Les circuits supraconducteurs peuvent être fabriqués avec des techniques proches de celles des microprocesseurs, mais nécessitent des températures de quelques millikelvins et présentent une cohérence limitée.

📌 Les circuits supraconducteurs sont envisagés pour la cryptanalyse de systèmes classiques comme RSA et ECC, plutôt que pour l’échange de clés quantiques.

💡 Astuce mémo

Photon pour transmettre ; ions et circuits pour calculer

📖 10. Opérations unitaires et portes quantiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Opération unitaire : Opération qui conserve la norme de l’état quantique et donc la probabilité totale égale à 1.

★ À maîtriser

• Sur la sphère de Bloch, une opération unitaire déplace le vecteur d’état du qubit à la surface de la sphère.

• La porte X échange |0〉 et |1〉 et correspond à une rotation de 180° autour de l’axe X, comme la porte NOT classique.

• La porte Z laisse |0〉 inchangé et transforme |1〉 en −|1〉 ; elle correspond à une rotation de 180° autour de l’axe Z et n’a pas d’équivalent direct dans le calcul classique.

• La porte Hadamard transforme les états de base en superpositions équilibrées et permet de passer de la base rectiligne H/V à la base diagonale +/− dans BB84.

Compléments

• La porte Y réalise une rotation de 180° autour de l’axe Y et applique une phase imaginaire : Y|0〉 = i|1〉 et Y|1〉 = −i|0〉.

📐 Formule - Les rotations autour des axes X, Y et Z s’écrivent $R_x(\theta)=e^{-i\theta X/2}$, $R_y(\theta)=e^{-i\theta Y/2}$ et $R_z(\theta)=e^{-i\theta Z/2}$.

💡 Astuce mémo

Le vecteur du qubit tourne sur la sphère de Bloch

📖 11. Manipulation physique des qubits

★ À maîtriser

• La manipulation physique dépend du support du qubit :
  • Les photons sont manipulés par des dispositifs optiques.
  • Les électrons sont manipulés par des champs magnétiques ou des impulsions radiofréquences.
  • Les atomes et les ions sont manipulés par des lasers.
  • Les circuits supraconducteurs sont manipulés par des impulsions micro-ondes.

📌 Les portes quantiques décrivent mathématiquement la transformation souhaitée, tandis que la manipulation physique réalise cette transformation sur le support matériel du qubit.

Compléments

• Les lames quart d’onde et demi-onde modifient l’orientation de la polarisation des photons, comme des rotations sur la sphère de Bloch.

• Dans les protocoles BB84, E91 et BBM92, des dispositifs optiques manipulent les photons pour préparer des polarisations ou des états intriqués.

📖 12. Mesure et projection des états

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un qubit $|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$, la mesure dans la base $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ donne 0 avec la probabilité $|\alpha|^2$ et 1 avec la probabilité $|\beta|^2$.

• La mesure d’un qubit commence par une superposition, produit un résultat selon des probabilités, puis projette le qubit dans l’état correspondant au résultat.

• Après une mesure dans la base |0〉, |1〉, un résultat 0 laisse le qubit dans |0〉 et un résultat 1 le laisse dans |1〉 ; la superposition initiale est détruite et l’état initial exact ne peut pas être retrouvé.

📌 Un photon préparé en polarisation H donne toujours H lors d’une mesure dans la base H/V, mais donne + ou − avec une probabilité de 50 % chacun lors d’une mesure dans la base diagonale.

Compléments

📐 Formule - La normalisation d’un qubit $|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ impose $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$.

• Dans l’expérience de Stern-Gerlach de 1922, un faisceau d’atomes d’argent se sépare en deux trajectoires correspondant aux spins up et down, illustrant la projection de l’électron dans l’un des deux états.

💡 Astuce mémo

Avant : superposition ; mesure : probabilité ; après : projection

📖 13. Défis expérimentaux des qubits

★ À maîtriser

• La décohérence résulte de l’interaction du qubit avec son environnement et détruit progressivement sa superposition.

• La transmission de qubits subit des pertes optiques et du bruit, tandis que les détecteurs peuvent avoir une efficacité limitée et produire de faux signaux.

📌 En physique classique, deux systèmes éloignés n’ont pas d’influence immédiate et leurs corrélations supposent une cause commune, tandis que les corrélations entre qubits intriqués ne s’expliquent pas par une cause classique et persistent à grande distance.

Compléments

• Les solutions envisagées comprennent :
  • Les fibres spéciales à faibles pertes.
  • Les satellites.
  • Le refroidissement des systèmes.
  • Les techniques de correction d’erreurs quantiques.

💡 Astuce mémo

Superposition : états d’un qubit ; intrication : liens entre qubits

📖 14. États séparables et intriqués

🔑 Notions clés & Définitions

• État séparable : Un état séparable de deux qubits peut s’écrire comme le produit tensoriel de l’état de A et de l’état de B, $|\psi_{AB}\rangle=|\phi_A\rangle\otimes|\chi_B\rangle$.
• État intriqué : Un état intriqué de deux ou plusieurs qubits ne peut pas s’écrire comme le produit tensoriel d’états individuels.

★ À maîtriser

• Dans un état séparable, chaque qubit conserve une description individuelle et l’état de A ne donne aucune information sur l’état de B.

• L’état $\frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle+|10\rangle)$ est intriqué : mesurer A à 0 implique B à 1, et mesurer A à 1 implique B à 0.

Compléments

• Le produit tensoriel de deux espaces de qubits de dimension 2 forme un espace composé de dimension 4, dont les états de base sont |00⟩, |01⟩, |10⟩ et |11⟩.

• Si A est dans l’état $\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ et B dans l’état |0⟩, leur état global séparable est $\alpha|00\rangle+\beta|10\rangle$.

• Dans cet état intriqué, chaque qubit pris isolément est indéterminé avec une probabilité de 50 % pour chacun des résultats 0 et 1, alors que leurs résultats sont corrélés.

💡 Astuce mémo

Produit des états individuels ≠ état global indivisible

📖 15. États de Bell et corrélations

★ À maîtriser

• Les quatre états de Bell sont $|\Phi^+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)$, $|\Phi^-\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle-|11\rangle)$, $|\Psi^+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle+|10\rangle)$ et $|\Psi^-\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle-|10\rangle)$.

• Les états de Bell représentent l’intrication maximale entre deux qubits ; chaque qubit pris seul est indéterminé à 50/50, tandis que le couple est parfaitement corrélé ou anticorrélé.

Compléments

📌 Dans |Φ+⟩, les résultats des deux qubits sont identiques, tandis que dans |Ψ+⟩, ils sont opposés.

• Pour une paire de photons dans l’état |Ψ−⟩, une mesure horizontale H par Alice correspond à une mesure verticale V par Bob, et inversement.

• Dans le protocole BBM92, les corrélations des états de Bell sont exploitées directement pour générer une clé secrète. - Bennett, Brassard, Mermin, 1992

💡 Astuce mémo

Φ : résultats identiques ; Ψ : résultats opposés

📖 16. EPR et inégalités de Bell

★ À maîtriser

• En 1964, John Bell a formulé des inégalités que doivent respecter les théories à variables cachées locales, alors que la mécanique quantique prédit qu’elles peuvent être violées.

• Dans les années 1980, les expériences d’Alain Aspect à Orsay sur des photons intriqués ont observé une violation des inégalités de Bell, en accord avec la mécanique quantique.

• La non-localité désigne les corrélations intriquées persistantes quelle que soit la distance, mais elle ne correspond pas à une transmission d’information plus rapide que la lumière.

Compléments

• Pour tester les inégalités de Bell, Alice et Bob mesurent des qubits intriqués selon différentes orientations et comparent les corrélations observées aux limites statistiques prévues par les théories à variables cachées locales.

• En 1935, EPR ont opposé l’hypothèse de variables cachées déterminant les résultats à l’avance à celle d’une action à distance, qu’Einstein jugeait absurde.

💡 Astuce mémo

Violation des inégalités → exclusion des variables cachées locales

📖 17. Cryptographie par intrication

★ À maîtriser

📌 BB84 repose sur la superposition et la perturbation de l’état par la mesure, tandis qu’E91 repose sur l’intrication et la violation des inégalités de Bell.

• Dans E91, une source génère des paires intriquées et envoie un qubit à Alice et l’autre à Bob ; chacun choisit une base de mesure, puis les résultats obtenus dans des bases compatibles servent à former une clé secrète. - Artur Ekert, 1991

• Dans E91, Alice et Bob publient une partie de leurs résultats pour tester la violation des inégalités de Bell ; si elles sont violées, ils considèrent que leurs corrélations sont sécurisées, et sinon ils concluent que la ligne est compromise.

Compléments

📌 Dans E91, la sécurité est vérifiée par les corrélations même si la source est contrôlée par un espion, contrairement à une sécurité qui dépendrait de la confiance accordée à la source.

• Dans une paire de photons en état |Φ+⟩, des bases identiques donnent des résultats corrélés utilisés comme bits de clé, tandis que des bases différentes servent à tester les inégalités de Bell.

💡 Astuce mémo

BB84 : perturbation par mesure ; E91 : non-localité

📖 18. Limites expérimentales et réseaux

★ À maîtriser

• Les fibres optiques présentent environ 0,2 dB/km de perte, de sorte qu’à 100 km seulement 1 % des photons survivent.

• Le satellite chinois Micius a distribué des clés intriquées sur plus de 1200 km entre deux stations terrestres en 2017.

• Les sources de décohérence mentionnées sont :

  • le bruit thermique
  • les vibrations mécaniques
  • les champs électromagnétiques parasites

Compléments

• Les méthodes actuelles de génération de paires intriquées comprennent : la conversion paramétrique spontanée dans un cristal non linéaire, les émissions dans des atomes piégés, les circuits supraconducteurs

• La turbulence atmosphérique perturbe les signaux transmis par l’air libre au moyen de télescopes.

• Les détecteurs de photons peuvent manquer des événements, produire du bruit de fond ou des faux clics, et subir des temps morts qui limitent le débit de communication.

• Les imperfections des détecteurs augmentent le taux d’erreurs, diminuent la vitesse de génération de clé et compliquent la distinction entre erreurs physiques et espionnage.

• Les détecteurs à nanofils supraconducteurs peuvent dépasser 90 % d’efficacité, et la correction d’erreurs ainsi que la distillation de clés sont des solutions aux imperfections de détection.

• La cryogénie, l’isolation dans le vide et l’encodage redondant avec correction d’erreurs quantiques sont des moyens de limiter les effets de la décohérence.

• Les systèmes de cryptographie quantique par intrication nécessitent des installations complexes, notamment des lasers ultra-stables, de la cryogénie et des télescopes, et leurs coûts élevés limitent encore leur adoption à grande échelle.

• Les réseaux quantiques hybrides en développement associent la fibre et le satellite, tandis que leur déploiement à grande échelle nécessite des répéteurs fiables, des sources intriquées de meilleure qualité, des coûts réduits et des systèmes robustes.

📊 Tableaux de synthèse

Physique classique et mécanique quantique

Cryptographie quantique et post-quantique