Fiche de révision : Limites et dérivation

📋 Plan du Cours

1. Règle de l’Hospital
2. Élasticité d’une fonction
3. Approximation linéaire et différentielle
4. Dérivées d’ordre supérieur

📖 1. Règle de l’Hospital

★ À maîtriser

📌 La règle de l’Hospital permet de remplacer une limite de quotient de type $0/0$ ou $\infty/\infty$ par la limite du quotient des dérivées du numérateur et du dénominateur, si les fonctions sont dérivables près de a, si $g'(x)\ne 0$ hors de a et si cette limite existe.

Compléments

📌 La règle de l’Hospital s’applique aussi aux limites lorsque x tend vers a par la droite ou la gauche, vers $+\infty$ ou vers $-\infty$.

• Pour tout $a>0$, $\lim_{x\to 0^+}x^a\ln(x)=0$, résultat obtenu en réécrivant le quotient puis en appliquant la règle de l’Hospital.

• Pour tout $k>0$, $\lim_{x\to +\infty}\frac{x^k}{\exp(x)}=0$ ; l’exponentielle croît donc plus vite que toute puissance positive de x lorsque x tend vers l’infini.

📖 2. Élasticité d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Élasticité : L’élasticité de f au point $x_0\ne 0$, lorsque f est dérivable en $x_0$ et $f(x_0)\ne 0$, mesure le taux de variation relatif de f par rapport au taux de variation relatif de x.

★ À maîtriser

📐 Formule - L’élasticité de f en $x_0$ vérifie $\varepsilon_f(x_0)=\frac{f'(x_0)x_0}{f(x_0)}$.

Compléments

📐 Formule - L’élasticité de f en $x_0$ vérifie aussi $\varepsilon_f(x_0)=x_0(\ln|f|)'(x_0)$.

• Si $x_0$ augmente de 2 %, alors f varie approximativement de $\varepsilon_f(x_0)\times 2\%$.

• Pour $g(x)=Ax^B$ avec $x>0$ et $A>0$, l’élasticité de g vaut B pour tout x positif.

• Si $g(x)=f(x)^\lambda$ avec $\lambda\ne 0$ et $f(x)\ne 0$, alors l’élasticité de g vaut $\lambda\varepsilon_f(x)$ pour tout x non nul du domaine de f.

💡 Astuce mémo

Une variation absolue s’exprime en CHF ; l’élasticité rapporte une variation en pourcentage.

📖 3. Approximation linéaire et différentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Différentielle : La différentielle de f en $x_0$ est la fonction qui associe à chaque dx la valeur $df(x_0)(dx)=f'(x_0)dx$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une fonction de classe $C^1$, l’approximation linéaire au voisinage de $x_0$ est $f(x_0+dx)\approx f(x_0)+f'(x_0)dx$.

📐 Formule - La variation de f est approximativement $dy\approx f'(x_0)dx$ pour une petite variation dx de x autour de $x_0$.

Compléments

• Pour $f(x)=\exp(x)$, la différentielle en $x_0$ est $df(x_0)(dx)=\exp(x_0)dx$.

• Pour $f(x)=\ln(x^2+1)$, sa dérivée est $f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}$.

📖 4. Dérivées d’ordre supérieur

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée seconde : La dérivée seconde de f en $x_0$ est la dérivée de sa dérivée première, soit $f''(x_0)=(f')'(x_0)$.
• Dérivée n-ième : La dérivée n-ième de f est définie par $f^{(n)}(x_0)=(f^{(n-1)})'(x_0)$ lorsque cette dérivée existe.
• Classe Cⁿ : Une fonction continûment dérivable jusqu’à l’ordre n est dite de classe $C^n$.

★ À maîtriser

• Les dérivées d’ordre supérieur se définissent en répétant la dérivation tant que la fonction obtenue reste dérivable.

Compléments

• Pour $f(x)=x^6$, les premières dérivées d’ordre supérieur sont $f'(x)=6x^5$, $f''(x)=30x^4$ et $f^{(3)}(x)=120x^3$.

💡 Astuce mémo

Dérivée première → dérivée seconde → dérivées d’ordre n.